Mathematik HTL 2, Schulbuch

116 Folgen, Differenzengleichungen und Zinseszinsrechnung Arithmetische und geometrische Folgen Michael und Philip bekommen von ihrer Oma zu Neujahr je ein Sparschwein geschenkt. Sie verspricht ihnen, bis zum 1. Jänner des nächsten Jahres an jedem Monatsersten etwas in ihr Sparschwein einzuwerfen. Sie können wählen: entweder am 1. Jänner 10€ und dann jeden Monat 5€, oder am 1. Jänner 10 ct und dann wird jeden Monat der Inhalt des Sparschweins verdoppelt. Im zweiten Fall gibt sie also am 1. Februar 10 ct in das Sparschwein, am 1. März 20 ct, am 1. April 40 ct und so weiter. Michael entscheidet sich für die erste, Philip für die zweite Möglichkeit. Für welche hättest du dich entschieden? Wer hat am 1. Jänner des nächsten Jahres mehr Geld in seinem Sparschwein? Wir schreiben m i € bzw. p i € für den Geldbetrag, der sich i Monate nach Neujahr im Sparschwein von Michael bzw. Philip befindet. Dann ist k m i l = k 10, 10 + 5, 10 + 5 + 5, 10 + 5 + 5 + 5, … , 10 + 5·i, … l und k p i l = k 1 _ 10 , 2· 1 _ 10 , 2 2 · 1 _ 10 , 2 3 · 1 _ 10 , …, 2 i · 1 _ 10 , … l . Am 1. April hat Michael 25€ und Philip 0,8€. War Philip zu bescheiden? Am 1. Jänner des nächsten Jahres hat Michael m 12 €, das sind 10 + 5·12 = 70€ und Philip hat p 12 €, das sind 2 12 · 2 1 _ 10 3 = 409,60€! In Michaels Folge ist die Differenz eines Folgengliedes und seines Vorgängers immer dieselbe Zahl, nämlich 5. Eine solche Folge nennen wir eine arithmetische Folge . In Philips Folge ist der Quotient eines Folgengliedes und seines Vorgängers immer dieselbe Zahl, nämlich 2. Eine solche Folge nennen wir eine geometrische Folge . Für je zwei reelle Zahlen a und d erhalten wir die Folge k a, a + d, a + 2d, a + 3d, …, a + nd, … l = k a + nd l . Wir nennen diese eine arithmetische Folge mit Anfangsglied a und Differenz d . Die Zahl d ist die Differenz von zwei aufeinanderfolgenden Folgengliedern. Eine rekursive Darstellung dieser arithmetischen Folge f ist: „f(0) = a und für alle n * N ist f(n + 1) = f(n) + d“. Für je zwei reelle Zahlen a ≠ 0 und q ≠ 0 erhalten wir die Folge k a, a·q 1 , a·q 2 , a·q 3 , …, a·q n , … l = k a·q n l . Wir nennen diese eine geometrische Folge mit Anfangsglied a und Quotient q . Die Zahl q ist der Quotient von zwei aufeinanderfolgenden Folgengliedern. Eine rekursive Darstellung dieser geometrischen Folge g ist: „g(0) = a und für alle n * N ist g(n + 1) = g(n)·q“. 507 Von einer arithmetischen Folge kennt man die Folgenglieder a 6 = 22 und a 11 = 37. Gib das Anfangsglied, die Differenz und die ersten 5 Folgenglieder an. Es gilt a 11 = a 6 + 5d. Daher ist 37 = 22 + 5d. Wir lösen diese Gleichung und erhalten d = 3. Da a 6 = a 0 + 6d ist, ist a 0 = a 6 – 6d = 22 – 6·3 = 4. Das Anfangsglied ist a 0 = 4, die Differenz ist d = 3. Die ersten 5 Folgenglieder sind 4, 7, 10, 13 und 16. 508 Von einer Zahlenfolge sind nur die ersten 5 Folgenglieder bekannt. Entscheide, ob diese Folge eine arithmetische oder geometrische Folge sein könnte. Wenn ja, gib das n-te Folgenglied der arithmetischen oder geometrischen Folge in expliziter Form an. Wenn nein, begründe. a. k 1, 3, 5, 7, 9, … l d. k 1, 2, 4, 7, 11, … l g. k 1, 4, 9, 16, 25, … l b. k 1, 6, 11, 16, 21, … l e. k 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … l h. k 2, 5, 8, 11, 14, … l c. k 2, 4, 8, 16, 32, … l f. k 2, 3, 5, 7, 11, 13, … l i. k 1, 3, 9, 27, 81, … l arithmetische Folge geometrische Folge B Folgenglieder berechnen C, D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv