Mathematik HTL 2, Schulbuch

115 4.1 Folgen und Reihen  Durch Angabe, wie man jedes Folgenglied aus den vorangegangenen Folgengliedern berechnet. Diese Darstellung einer Folge nennen wir eine rekursive Darstellung der Folge. Beispiele:  „f ist die Folge mit f(0) = 1 und für alle n * N ist f(n + 1) = f(n) + 3“  „g ist die Folge mit g(0) = 1 und für alle n * N ist g(n + 1) der Rest von 2·g(n) nach Division mit Rest durch 5“. Gibt man von einer Folge nur die ersten vier, sieben, zwanzig oder auch drei Milliarden Folgen- glieder an, zum Beispiel k 3, 2 ,0, ‒1,‒ 3, 5, 8, … l , so ist es deiner Phantasie überlassen, die Punkte … zu deuten. Es gibt dann beliebig viele Möglichkeiten, die Folge fortzusetzen. Zum Beispiel beginnen die Folgen k 3 _ 2 – (‒1) n 3 _ 2 l , k 2n 3 – 9n 2 + 10n l und k ‒n 4 + 8n 3 – 20n 2 + 16n l alle mit k 0, 3, 0, 3, … l . 499 Gib die ersten 8 Folgenglieder an. a. Folge aller geraden positiven Zahlen b. Folge aller Primzahlen c. Folge aller Potenzen von 3, deren Exponenten natürliche Zahlen sind d. Folge aller nicht negativen Bruchzahlen mit Zähler 1 500 Bestimme die ersten 5 Folgenglieder. a. f: N ¥ R , n ¦ 3n – 2 b. g: N ¥ R , n ¦ 1 _ 2 n + 1 _ 2 c. h: N ¥ R , n ¦ n 2 d. i: N ¥ R , n ¦ n(n – 1) 501 Ermittle die ersten 5 Folgenglieder der Folge. a. f(0) = 12 und für alle n * N ist f(n + 1) = f(n) + 2 b. g(0) = 5 und für alle n * N ist g(n + 1) = g(n)·2 c. h(0) = 1 _ 2 und für alle n * N ist h(n + 1) = h(n) + 2n d. i(0) = ‒ 4 und für alle n * N ist i(n + 1) = i(n) – n 502 Finde eine Vorschrift zur Berechnung der gegebenen Folgenglieder. Berechne damit die nächsten 3 Folgenglieder. (Diese Aufgabe hat mehrere Lösungen!) a. k 1, 3, 5, 7, … l b. k ‒ 5, ‒1, 3, 7, … l c. k 2, 4, 8, 16, … l d. k 1, 0,1, 0,01, 0,001, … l 503 a. Berechne zunächst händisch die ersten 10 Glieder der Fibonacci-Folge, die durch „f(0) = 0, f(1) = 1 und für alle n * N ist f(n + 2) = f(n + 1) + f(n)“ definiert ist. b. Berechne mithilfe eines CAS oder eines Tabellenkalkulationsprogrammes die ersten 100 Glieder der Folge. c. Ab welchen Index sind die Folgenglieder größer als 10000000? d. Recherchiere im Internet nach einer expliziten Form dieser Folge, indem du nach den Namen der Mathematiker „Fibonacci“, „Moivre“ oder „Binet“ suchst. e. Überprüfe, ob die gefundene explizite Form für die ersten 10 Glieder korrekt ist. 504 Die Folge k b(n) l wird durch „für alle n * N ist b(n) = 1 __ (n + 1) 2n “ definiert. Berechne mithilfe eines geeigneten Programms die ersten 10 Zahlen dieser Folge. Ab welchem Index n ist das Folgenglied kleiner als 10 ‒4 ? 505 Eine Folge reeller Zahlen ist explizit dargestellt. Gib die ersten 5 Glieder der Folge an. a. k a n l = k 4·n l c. k c n l = k 2 n l e. k e n l = k 3 n – 1 l g. k g n l = k (‒1) n l b. k b n l = k 5·n – 4 l d. k d n l = k n 2 l f. k f n l = k n – 3 _ n + 2 l h. k h n l = k (‒2) n _ 4(n + 1) l 506 Eine Folge reeller Zahlen ist in impliziter Form dargestellt. Gib die ersten 5 Glieder der Folge an. a. a 0 = 9 und für alle n * N ist a n + 1 = a n – 3 c. c 0 = 64 und für alle n * N ist c n + 1 = c n _ 2 b. b 0 = 3 und für alle n * N ist b n + 1 = b n ·2 d. d 0 = 2 und für alle n * N ist d n + 1 = 3·d n + 1 A B B A, B B, D ggb r2867p B B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv