Mathematik HTL 2, Schulbuch

114 4.1 Folgen und Reihen Ich lerne eine Folge unterschiedlich darzustellen. Ich lerne zu entscheiden, ob eine gegebene Folge eine arithmetische oder eine geometrische Folge sein kann. Ich lerne die Summenformeln für arithmetische und geometrische Reihen auf Fragestellungen des Alltags anzuwenden. Darstellung von Folgen Anna misst jeden Tag um 7 Uhr vor ihrer Wohnung die Temperatur in °C. Nach 30 Tagen fasst sie die Messergebnisse zu einem 30-Tupel von reellen Zahlen zusammen. Misst sie weiter, muss sie ein n-Tupel mit einer Zahl n > 30 nehmen. Wenn sie vorhat, diese Liste beliebig lang fortzuführen, legt sie sich am besten nicht mehr auf ein bestimmtes n fest. Wie kann man eine solche „nach oben offene“ Liste beschreiben? Am besten durch eine Funktion. Die Tage beschreiben wir durch natürliche Zahlen (und beginnen am einfachsten bei 0). Dann wird jeder natürlichen Zahl n die Temperatur (in Grad Celsius) am Tag n zugeordnet. Die (vorläufig) ohne Ende vorzunehmenden täglichen Temperaturmessungen werden also durch eine Funktion von der Menge der natürlichen Zahlen in die Menge der reellen Zahlen beschrieben. Eine Folge in R oder eine Folge von reellen Zahlen ist eine Funktion von N nach R . Der Funktionswert f(n) der natürlichen Zahl n heißt dann das n-te Folgenglied oder das Folgen- glied mit Index n . Anstatt f(n) schreiben wir für das n-te Folgenglied oft f n . Für die Folge f: N ¥ R , n ¦ f n , schreiben wir kurz einfach k f n l oder k f 0 , f 1 , f 2 , f 3 , …, f n , … l . Statt f und n können wir auch beliebige andere Zeichen verwenden und eine Folge zum Beispiel mit k a i l oder mit k u k l bezeichnen. Achtung Da 0 eine natürliche Zahl ist, beginnt eine Folge mit dem 0-ten Folgenglied f 0 . Wenn wir zum Beispiel von den „ersten fünf Folgengliedern“ sprechen, dann meinen wir f 0 , f 1 , f 2 , f 3 und f 4 . Das „fünfte Folgenglied“ oder „Folgenglied mit Index 5“ ist aber f 5 und das „nullte Folgenglied“ oder „Folgenglied mit Index 0“ ist f 0 . Da eine Folge im Unterschied zu einem n-Tupel nicht mehr durch endlich viele Zahlen gegeben ist, können wir nicht alle Folgenglieder anschreiben. Wie können wir aber eine Folge durch endlich viele Daten darstellen? Es gibt dazu mehrere Möglichkeiten:  Durch Angabe eines Verfahrens, mit dem für jede natürliche Zahl n das n-te Folgenglied berechnet werden kann, ohne andere Folgenglieder berechnen zu müssen. Diese Darstellung einer Folge heißt eine explizite Form der Folge. Eine explizite Form der Folge wird meist in einer der folgenden zwei Schreibweisen ange- geben: 1. In der Schreibweise für Funktionen f: N ¥ R , n ¦ f n : Beispiele:  f: N ¥ R , n ¦ 3n + 1  g: N ¥ R , n ¦ Rest von 2 n nach Division durch 5 2. In der Schreibweise k f 0 , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 , …, f n , … l oder k f n l : Beispiele:  k f n l = k 1, 4, 7, 10, 13, 16, …, 3n + 1, … l = k 3n + 1 l  k g n l = k 1, 2, 4, 3, 1, 2, …, Rest von 2 n nach Division mit Rest durch 5, … l = = k Rest von 2 n nach Division mit Rest durch 5 l Folge in R ggb 4yh2ie Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv