Mathematik HTL 2, Schulbuch

110 Zusammenfassung Für eine positive reelle Zahl a nennen wir die Funktion exp a : R ¥ R , t ¦ a t Exponentialfunktion zur Basis a . Häufig verwenden wir als Basis die Eulersche Zahl e , die nicht rational ist und zwischen 2,718 und 2,719 liegt. Die Exponentialfunktion zur Basis a ist streng monoton wachsend, wenn a > 1 ist und streng monoton fallend, wenn 0 < a < 1 ist. Für alle Zahlen x und y gilt: exp a (x + y) = exp a (x)·exp a (y), also a x + y = a x ·a y exp a (x – y) = exp a (x) _ exp a (y) , also a x – y = a x _ a y exp a (x·y) = exp a (x) y = exp a (y) x , also a xy = (a x ) y = (a y ) x Insbesondere ist daher exp a (x + 1) = exp a (x)exp a (1) = a·exp a (x) , also a x + 1 = a x ·a 1 = a·a x . Die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion zur Basis a heißt Logarithmusfunktion zur Basis a , log a: R + ¥ R , a x ¦ x. Für eine positive Zahl t nennen wir die Zahl log a (t) den Logarithmus von t zur Basis a . Den Logarithmus einer Zahl zur Basis e bezeichnen wir als den natürlichen Logarithmus dieser Zahl und wir schreiben ln statt log e . Jeder Logarithmus ist ein Vielfaches des natürlichen Logarithmus, für alle Zahlen x ist log a (x) = 1 _ ln(a) ·ln(x). Da die Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion ist, gilt: Für alle positiven Zahlen x und y ist log a (x·y) = log a (x) + log a (y) . Für alle positiven Zahlen x und y ist log a 2 x _ y 3 = log a (x) – log a (y) . Für alle positiven Zahlen x und alle Zahlen y ist log a (x y ) = y·log a (x) . Beschreibt man einen Vorgang durch eine Funktion f, dann spricht man  von exponentiellem Wachstum bzw. exponentieller Abnahme , wenn die Funktion f ein positives Vielfaches einer Exponentialfunktion ist, deren Basis > 1 bzw. < 1 ist,  von beschränktem Wachstum , wenn für alle Zahlen t im Definitionsbereich gilt: f(t) = K·(1 – c·a t ) wobei K, c und a postive reelle Zahlen mit a < 1 sind. K heißt dann Kapazitätsgrenze .  von logistischem Wachstum , wenn für alle Zahlen t im Definitionsbereich gilt: f(t) = K _ 1 + c·a t , wobei K, c und a positive reelle Zahlen mit a < 1 sind. Eine Aufgabe der Art „Finde alle Zahlen x mit 7 2x – 4 ·5 x = 9 x + 1 “ heißt Exponentialgleichung . Eine Aufgabe der Art „Finde alle Zahlen x mit log(x – 10) + log(x + 10) = log(x) + log(x – 5)“ heißt Logarithmusgleichung . Exponential- funktionen Logarithmus- funktionen exponentielles Wachstum, exponentielle Abnahme beschränktes Wachstum logistisches Wachstum Exponential- gleichungen Logarithmus- gleichungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv