Mathematik HTL 2, Schulbuch

11 1.2 Graphen quadratischer Funktionen Ich lerne die Scheitelform einer quadratischen Funktion zu berechnen. Ich lerne mithilfe der Scheitelform einer quadratischen Funktion den Graphen der Funktion zu zeichnen. Ich lerne bei gegebenem Scheitel einer quadratischen Funktion mögliche Zuordnungs- vorschriften anzugeben. Monoton wachsende und monoton fallende Funktionen Wir haben bereits die Potenzfunktion g: R ¥ R , z ¦ z 2 kennengelernt, die jeder Zahl ihr Quadrat zuordnet. Der Graph von g ist die Menge {(z 1 z 2 ) ‡ z * R} . Wenn wir eine Wertetabelle von g erstellen, können wir mit den berechneten Zahlenpaaren einzelne Punkte von Graph(g) in einem Koordinatensystem zeichnen. Welche Punkte aber zwischen zwei bekannten Punkten des Graphen liegen, können wir vorerst nur vermuten. Betrachten wir dazu das nebenstehende Bild: Zwar ist es naheliegend, die Punkte (1 1 1) und (3 1 9) „direkt“ zu verbinden (durchgezogene Linie), aber auch ein anderer Verlauf von Graph(g) zwischen diesen beiden Punkten ist denkbar (gestrichelte Linie). Um Graph(g) zeichnen zu können, überlegen wir uns, ob wir Eigen- schaften der Funktion finden können, die etwas über das „Aus- sehen“ ihres Graphen aussagen. Für lineare Funktionen zum Beispiel haben wir gezeigt, dass deren Graph immer eine Gerade ist. Für zwei beliebige positive Zahlen a und b mit a < b folgt aus a < b, dass a·a < a·b und a·b < b·b ist. Daher ist g(a) = a 2 < b 2 = g(b). Wenn wir also z auf der positiven offenen Halbgeraden R + durch eine größere Zahl ersetzen, dann wird auch der entsprechende Funktionswert bezüglich g größer. Wir sagen, dass die Funk- tion g auf der Halbgeraden R + streng monoton wachsend ist. Mit M bezeichnen wir R , eine Halbgerade oder ein Intervall. Wir nennen eine Funktion f von R nach R auf M streng monoton wachsend , wenn für alle Zahlen a, b in M aus a < b folgt, dass auch f(a) < f(b) ist. Wenn a und b beliebige negative Zahlen sind und a < b ist, folgt aus a < b, dass a·a > a·b und a·b > b·b ist. Daher ist g(a) = a 2 > b 2 = g(b). Wenn wir also z auf der negativen offenen Halbgeraden R – durch eine größere Zahl ersetzen, dann wird der entsprechende Funktionswert bezüglich g kleiner. Wir sagen, dass die Funktion g auf der Halbgeraden R – streng monoton fallend ist. Mit M bezeichnen wir R , eine Halbgerade oder ein Intervall. Wir nennen eine Funktion f von R nach R auf M streng monoton fallend , wenn für alle Zahlen a, b in M aus a < b folgt, dass f(a) > f(b) ist. 0 x y 1 -1 - 2 2 3 5 6 7 8 9 4 - 4 4 3 2 1 - 3 - 2 -1 (- 2 1 4) (2 1 4) (3 1 9) (1 1 1) (0 1 0) (-1 1 1) streng monoton wachsend streng monoton fallend Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv