Mathematik HTL 2, Schulbuch

109 3.4 Exponential- und Logarithmusgleichungen Logarithmusgleichungen Eine Aufgabe der Art „Finde alle Zahlen x mit log a (x – 10) + log a (x + 10) = log a (x) + log a (x – 5)“ heißt Logarithmusgleichung . Tipp Beim Lösen einer Logarithmusgleichung gehen wir so vor:  Wir wenden die Rechenregeln für Logarithmen, sodass auf beiden Seiten der Gleichung nur mehr ein Logarithmus steht.  Dann überlegen wir, für welche Zahl(en) die Argumente dieser Logarithmen gleich sind.  Schließlich überprüfen wir, ob diese Zahlen Lösungen der Logarithmusgleichung sein können. 475 Löse die Logarithmusgleichung log a (x – 10) + log a (x + 10) = log a (x) + log a (x – 5). Dabei ist darauf zu achten, dass die Zahlen x – 10, x + 10, x und x – 5 alle positiv sind. Wir fassen die Logarithmen auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens zusammen und erhalten log a ((x – 10)(x + 10)) = log a (x(x – 5)). Weil log a eine Umkehrfunktion hat, müssen wir alle Zahlen x mit der Eigenschaft (x – 10)(x + 10) = x(x – 5) finden. Umformen führt zu x = 20. Nachdem die Zahlen 20 – 10, 20 + 10, 20 und 20 – 5 alle positiv sind, ist 20 eine Lösung. Andere Lösungen gibt es nicht. 476 Löse die Logarithmusgleichung. a. log a (x – 1) = log a (5) c. log a (2x + 4) = log a (8) e. log a 2 1 _ 2 x – 1 3 = log a (3x + 2) b. log a (3(x – 1)) = log a (7) d. log a (2x + 1) = log a (4x – 3) f. log a (x 2 + 1) = log a (2x) 477 Löse die Logarithmusgleichung. a. log a 2 x + 2 _ x – 1 3 = log a (5x + 7) d. log a (x – 1) + log a (2) = log a (5) b. log a 2 x + 1 _ x – 1 3 = log a (3) e. log a (2x + 4) – log a (2) = log a (3x) c. log a 2 x + 3 _ x – 2 3 = log a (3x + 1) f. log a (3x + 1) + log a (2x) = log a (4) 478 Löse die Logarithmusgleichung. a. log a (x – 10) + log a (x + 10) = log a (x) d. log a (x 5 ) – log a (x 4 ) = log a (9) b. log a (x – 1) – log a (2x + 4) = log a (4) e. log a (2x 4 ) – log a (x 2 ) = log a (98) c. log a (3x + 2) + log a (x + 1) = log a (x + 3) f. log a (3x 2 + 3x) – log a (x + 1) = log a (24) Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt? Ich kann Exponentialgleichungen lösen. 479 Löse die Exponentialgleichung. a. 2 3x + 1 – 3 2x – 1 = 3 2x + 2 – 2 3x b. 4 2x – 1 ·5 3x + 1 = 2 5x – 1 Ich kann Logarithmusgleichungen lösen. 480 Löse die Logarithmusgleichung. a. log(2x + 3) – log(3) = log(4x) b. log(x 2 ) – 2log(x) = log(5) Logarithmus- gleichung B eine Logarithmus- gleichung lösen ggb/mcd 7xs6iv B B B B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv