Mathematik HTL 2, Schulbuch

108 3.4 Exponential- und Logarithmusgleichungen Ich lerne Exponentialgleichungen zu lösen. Ich lerne Logarithmusgleichungen zu lösen. Exponentialgleichungen Eine Aufgabe der Art „Finde alle Zahlen z mit 7 2z – 4 ·5 z = 9 z + 1 “ heißt Exponentialgleichung . Tipp Beim Lösen einer Exponentialgleichung gehen wir so vor:  Wir formen alle Potenzen auf Potenzen mit derselben Basis um.  Wir wenden die Rechenregeln für Potenzen mit gleicher Basis an, sodass auf beiden Seiten der Gleichung nur mehr eine Potenz steht.  Schließlich ersetzen wir beide Seiten der Gleichung durch ihren Logarithmus und können die Gleichung lösen. 469 Löse die Exponentialgleichung 7 2x – 5 ·5 x = 9 x + 1 . Wir schreiben alle Potenzen als Potenzen derselben Basis an: 7 = e ln(7) , 5 = e ln(5) , 9 = e ln(9) . Unsere Gleichung wird somit zu e ln(7)(2x – 4) ·e ln(5)x = e ln(9)(x + 1) | zusammenfassen nach der Regel e a ·e b = e a + b e ln(7)(2x – 4) + ln(5)x = e ln(9)(x + 1) | ln ln(7)(2x – 4) + ln(5)·x = ln(9)(x + 1) | ausmultiplizieren 2xln(7) – 4ln(7) + xln(5) = xln(9) + ln(9) | alle Summanden mit x auf eine Seite bringen 2xln(7) + xln(5) – xln(9) = ln(9) + 4ln(7) | x herausheben x(2ln(7) + ln(5) – ln(9)) = ln(9) + 4ln(7) | : (2ln(7) + ln(5) – ln(9)) x = ln(9) + 4ln(7) ___ 2ln(7) + ln(5) – ln(9) ≈ 3,021 470 Löse die Exponentialgleichung. a. e x = 20 c. 7e 3x + 1 = 630 e. 7 · e x _ 2 = 9 g. 3e 2x _ 5 = 9 b. e 2x = 50 d. e 4x – 2 = 100 f. 8 · e x + 3 _ 2 = 10 h. 5 + e 2x = 19 471 Löse die Exponentialgleichung. a. 2e x + 1 – 3 = 9 c. 2 x = 10 e. 10 x _ 3 = 60 g. 240·1,03 x = 1 000 b. 7e x _ 2 – 49 = 0 d. 2 x = 100 f. 0,5 x = 48 h. 5·1,02 x = 18 472 Löse die Exponentialgleichung. a. 3 x – 3 ·5 2x – 10 = 7 x – 4 c. 5 4x – 1 ·7 x + 1 = 9 3x + 1 e. 5 3x – 1 ·2 2x + 4 = 7 x _ 2 + 3 b. 2 2x – 3 ·3 x – 5 = 5 x – 3 d. 2 3x – 7 ·7 x = 5 x + 3 f. 5 3x – 7 ·7 6 – 2x = 2 4x + 1 ·3 4x – 1 473 Löse die Exponentialgleichung. a. 5 2x – 1 _ 5 2x + 1 = 1 _ 5 4 – x c. 2 3x – 2 _ 2 2x + 1 = 1 _ 2 5 –3x e. 6 2x – 1 _ 6 3x + 1 = 1 _ 6 11 – 2x g. 3 x – 2 ·5 8x + 4 = 5 7x + 3 _ 7 2x – 5 b. 3 2x – 1 _ 3 2x + 1 = 1 _ 3 4 – x d. 7 3x – 2 _ 7 2x + 1 = 1 _ 7 5 – 3x f. 4 2x – 1 _ 4 3x + 1 = 1 _ 4 11 – 2x h. 3 4x – 5 _ 2 x – 4 = 7 2x + 1 _ 5 4 – 3x 474 Löse die Exponentialgleichung. a. 5·3 2x – 3·5 x – 1 = 5 x + 1 – 3 2x + 1 b. 3·2 3x – 1 – 2·3 x + 1 = 3 x – 1 – 2 3x + 1 Exponential- gleichung B ggb/mcd/tns v9qb3q eine Exponential- gleichung lösen B B B B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv