Mathematik HTL 2, Schulbuch

107 3.3 Beschreiben von Wachstum mithilfe von Exponentialfunktionen 463 Ein mit einem Widerstand R = 3 kΩ verbundener Kondensator mit Kapazität C = 2 μ F wird durch eine Ladespannung U 0 = 100V aufgeladen. a. Berechne die Spannung U(t) = U 0 · 2 1 – e ‒ t _ R·C 3 am Kondensator nach 0ms, 5ms, 10ms, 15ms, 20ms und 25ms. b. Stelle die berechneten Spannungen in einer Wertetabelle dar und zeichne dann den Graphen der Funktion U: R + ¥ R , t ¦ U(t) über dem Intervall [0; 0,025]. c. Ermittle, nach wie viel Millisekunden am Kondensator die Spannung 80V erreicht ist. 464 Ein Kondensator mit Widerstand R = 1,2 kΩ und Kapazität C = 4,7 μ F ist zum Zeitpunkt 0 auf 12V aufgeladen. a. Stelle eine Vermutung auf, welchen Vorgang bezüglich des Kondensators der Graph der Funktion R + ¥ R , t ¦ 12·e ‒ t _ R·C darstellt und argumentiere deine Vermutung. b. Zeichne diesen Graphen. c. Ermittle mithilfe des Graphen, wie lange es ungefähr dauert, bis die Spannung weniger als 20% der Ausgangsspannung beträgt und überprüfe das Ergebnis durch Rechnung. 465 Ein Kondensator mit Widerstand R = 68 kΩ und Ladekapazität C = 33 μ F ist zum Zeitpunkt 0 auf 24V aufgeladen und wird entladen. a. Stelle den Verlauf der Spannung graphisch dar. b. Ermittle, wie lange es ungefähr dauert, bis die Spannung nur noch 50% der Ausgangs- spannung beträgt. Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt? Ich kann Aufgaben zu Sachverhalten aus Technik, Naturwissenschaft und Wirtschaft, die mithilfe von Exponentialfunktionen beschrieben sind, lösen. 466 Ein zum Zeitpunkt 0 ungeladener Kondensator mit einem Widerstand von 10 kΩ und einer Ladekapazität von 2,2 μ F wird durch eine Ladespannung von 24V aufgeladen. a. Berechne die Spannung U(t) = 24· 2 1 – e ‒ t _ R·C 3 am Kondensator nach 0ms, 5ms, 10ms, 15ms, 20ms und 25ms. b. Zeichne den Graphen der Funktion U über dem Intervall [0; 0,025]. Dokumentiere zuerst deine Überlegungen über das Aussehen des Graphen. c. Lies aus dem Graphen ab, wie lange es dauert, bis der Kondensator zu 50% geladen ist. d. Überprüfe das abgelesene Ergebnis durch Rechnung. 467 In einem Dorf mit 800 Einwohnern verbreitet sich ein Gerücht über eine Affäre des Bürgermeis- ters. Drei Stunden nachdem es in Umlauf gebracht wurde, kennen bereits 60 Personen dieses Gerücht. Wir nehmen an, dass die Anzahl der Personen, die nach t Stunden von diesem Gerücht gehört haben, durch die Funktion p mit p(t) = 800 __ 1 + 799·a t beschrieben werden kann. a. Berechne die Zahl a. Führe die folgenden Berechnungen mit der Funktion p mit p(t) = 800 __ 1 + 799·0,25 t durch. b. Berechne, wie viele Personen das Gerücht nach 5 Stunden gehört haben. c. Berechne, nach wie vielen Stunden dieses Gerücht drei Viertel der Einwohner bekannt ist. 468 Beim Super-GAU von Tschernobyl im Jahre 1986 wurden radioaktive Stoffe in großen Mengen freigesetzt. So auch das Isotop Caesium 137, das eine Halbwertszeit von rund 30 Jahren hat. Berechne, wie lange es dauern wird, bis nur noch 0,1% der freigesetzten Masse von Caesium 137 vorhanden sind. B B, C, D A, C B, C B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv