Mathematik HTL 2, Schulbuch

106 Exponential- und Logarithmusfunktionen 461 Benutze das Modell von Verhulst-Pearlsche aus Aufgabe 460, um das Wachstum von Amöben der Art Pelomyxa zu beschreiben. Die Generationszeit beträgt in etwa 7 Stunden und das Wachstum ist auf 5000 Amöben beschränkt. Am Beginn existieren 100 Individuen. a. Schreibe P(t) nach Verhulst und Pearl an. b. Ermittle, wie viele Amöben nach 10 Stunden leben. c. Berechne, wie lange es dauert, bis die maximale Population erreicht ist. 462 Ein mit einem Widerstand R verbundener Kondensator mit Kapazität C wird durch eine Lade- spannung U 0 aufgeladen. Mit U(t) bezeichnen wir die Spannung am Kondensator t Sekunden nach Beginn des Ladevorgangs. Die Spannung geben wir in Volt an, den Widerstand in Ohm und die Kapazität in Farad. Aus der Elektrizitätslehre ist bekannt: U(t) = U 0 · 2 1 – e ‒ t _ R·C 3 a. Stelle den Spannungsverlauf in den ersten fünf Sekunden des Ladevorgangs für U 0 = 9V, R = 10 kΩ, C = 47 μ F graphisch dar, das heißt, zeichne den Graphen der Funktion U: R 0 + ¥ R , t ¦ U(t) über dem Intervall [0; 5]. Dokumentiere zuerst deine Überlegungen zum Aussehen des Graphen. b. Lies aus dem Graphen ab, nach welcher Zeit der Kondensator 90% der angelegten Spannung erreicht hat. c. Überprüfe das abgelesene Ergebnis durch Rechnung. a. Wir schreiben zunächst R und C mit den Einheiten Ω und F an: R = 10 4 Ω, C = 47·10 ‒6 F. Das Produkt R·C wird damit (ohne Einheiten) zu 0,47. Also ist U(t) = 9· 2 1 – e ‒ t _ 0,47 3 . Die Zahl a = e ‒ 1 _ 0,47 ≈ 0,1191 ist kleiner als 1, daher ist die Exponential- funktion zur Basis a streng monoton fallend, und alle ihre Funktionswerte von positiven Zahlen sind im Intervall [0; 1] enthalten. Somit ist die Funktion f mit f(x) = 1 – a x streng mono- ton wachsend, und alle ihre Funktionswerte von positiven Zahlen sind ebenfalls im Intervall [0; 1] enthalten. Also ist auch die Funktion U streng monoton wachsend und alle ihre Funkti- onswerte sind im Intervall [0; 9] enthalten. Mithilfe einer Wertetabelle erhalten wir nun das folgende Bild: t in Sekunden U(t) in Volt 0 0 1 7,92 2 8,87 3 8,98 4 8,998 5 8,9998 b. 90% von 9V sind 8,1V. Wir zeichnen in diesem Bild eine Gerade parallel zur x-Achse durch (0 1 8,1) ein, und lesen die erste Koordinate des Schnittpunkts dieser Geraden mit dem Graphen ab. Sie liegt zwischen 1 und 1,1. Der Kondensator erreicht also nach etwas mehr als einer Sekunde 90% der angelegten Spannung. c. Wir müssen eine Zahl t berechnen, für die U(t) = 8,1 ist. 8,1 = 9· 2 1 – e ‒ t _ 0,47 3 | : 9 0,9 = 1 – e ‒ t _ 0,47 | + e ‒ t _ 0,47 – 0,9 e ‒ t _ 0,47 = 0,1 | ln ‒ t _ 0,47 = ln(0,1) | ·(‒ 0,47) t ≈ 1,08 Der Kondensator erreicht also nach 1,08 Sekunden 90% der angelegten Spannung. A, B A, B, C Aufladen eines Kondensators xls/mcd/tns 36n8bb 5 4 3 2 1 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 t[s] U(t)[V] 1 1,1 0 9 7 8,1 6 5 4 3 2 1 0 t[s] U(t)[V] Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv