Mathematik HTL 2, Schulbuch

105 3.3 Beschreiben von Wachstum mithilfe von Exponentialfunktionen 458 Das Diagramm stellt ein lineares, beschränktes, exponentielles oder logistisches Wachstum dar. Interpretiere, welches Wachstum dargestellt wird. a. c. e. b. d. f. 459 Ein neuer Mobilfunkbetreiber „Quattro“ möchte in Österreich Fuß fassen und schätzt das Marktpotenzial auf ca. 600000 Kunden. Er startet die Markteinführung mit einem Gewinnspiel, bei dem 1 000 Handys mit jeweils einer SIM-Karte von Quattro verschenkt werden. Drei Monate später sind durch günstige Tarifangebote bereits 30000 Handys von „Quattro“ im Umlauf. a. Nimm für die Anzahl der sich nach t Monaten im Umlauf befindlichen Handys von Quattro logistisches Wachstum an und zeichne den zugehörigen Graphen. Lies in der Zeichnung ab, nach wie vielen Monaten in etwa der angestrebte Marktanteil erreicht wird. b. Nach weiteren drei Monaten stellt sich heraus, dass das Wachstum keinesfalls logistisch erfolgt. Man nimmt nun an, dass in Wirklichkeit beschränktes Wachstum vorliegt. Durch welche Funktion lässt sich das beschränkte Wachstum modellieren? Zeichne ihren Graphen in ein Koordinatensystem und gib an, wann nun das angestrebte Marktpotential erreicht wird. 460 Betrachtet man das Wachstum von Einzellern oder Bakterien, so verläuft es zu Beginn exponen- tiell, durch das begrenzte Nahrungs- und Platzangebot ist es jedoch begrenzt. Das Modell von Verhulst und Pearl nimmt an, dass die Anzahl P(t) der Bakterien zur Zeit t gleich P(t) = P max ·P 0 ·e at ___ P max – P 0 + P 0 ·e at ist, wobei P max die maximale Anzahl von Einzellern ist, P 0 die Anzahl der Einzeller zur Zeit 0 und a eine von der Generationsdauer T abhängige Zahl ist, welche die Bedingung 2P 0 = P 0 ·e a·T erfüllt. a. Bestimme für Einzeller mit einer Generationsdauer von einer Stunde die Zahl a. b. In einem Gefäß mit Nahrung für maximal 10000 Einzeller werden 100 Einzeller eingesetzt. Schreibe P(t) nach Verhulst und Pearl an. c. Zeichne mithilfe eines geeigneten Programms ein Diagramm, das den Verlauf für das Wachs- tum dieser Einzeller darstellt. d. Lies aus dem Diagramm ab, wie viele Einzeller nach 5 Stunden im Gefäß leben. Überprüfe die abgelesene Zahl durch Rechnung. e. Ermittle mithilfe des Diagramms, wie lange es dauert, bis die maximale Population von 10000 erreicht ist. f. Ermittle dafür die Koeffizienten K und c der logistischen Wachstumsfunktion W mit W(t) = K _ 1 + c·q t direkt aus der Angabe. C 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0 20 40 60 80 100 120 0 1 2 3 4 5 6 0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60 0 4 8 12 16 20 24 0 5 10 15 20253035404550 0 50 100 150 200 250 2000 4000 0 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000 0 2 4 6 8 10 12 14 16 0 10 20 30 40 50 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213 A, C B, C ggb d5ng4i Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv