Mathematik HTL 2, Schulbuch

104 Exponential- und Logarithmusfunktionen 453 Stelle mithilfe einer DGS den Graphen der Funktion f mit f(t) = K·(1 – c·a t ) dar. Gehe dabei so vor, dass die Zahlen K, c und a (zum Beispiel mithilfe von Schiebereglern) frei gewählt werden können. a. Dokumentiere, welchen Einfluss die Zahlen K, c und a auf das Aussehen des Funktionsgraphen haben. b. Beschreibe den Graphen der Funktion g mit g(t) = c·a t (Monotonie …). Erkläre dann damit das Aussehen des Graphen von f. 454 Stelle mithilfe einer DGS den Graphen der Funktion f mit f(t) = K _ 1 + c·a t dar. Gehe dabei so vor, dass die Zahlen K, c und a (zum Beispiel mithilfe von Schiebereglern) frei gewählt werden können. a. Dokumentiere, welchen Einfluss die Zahlen K, c und a auf den Verlauf des Funktionsgraphen haben. b. Beschreibe den Graphen der Funktion g mit g(t) = c·a t (Monotonie …). Erkläre dann damit das Aussehen des Graphen von f mit f(t) = K _ 1 + c·a t . 455 Untersuche, ob die Funktion ein exponentielles, ein beschränktes oder ein logistisches Wachstum bzw. eine exponentielle Abnahme beschreibt. Im Falle eines beschränkten oder logistischen Wachstums gib die Kapazitätsgrenze an. a. Spannungsverlauf beim Laden eines Kondensators: U(t) = U 0 · 2 1 – e ‒ t _ RC 3 b. Ladestrom eines Kondensators: I(t) = U _ R ·e ‒ t _ R·C c. Temperaturverlauf beim Erwärmen von T R auf T K : T(t) = T K – (T K – T R )·e ‒ t _ π d. Größe einer Kaninchenpopulation zur Zeit t: f(t) = K·A ___ A + (K – A)·e ‒a·t 456 Eine Funktion f: R + ¥ R beschreibt einen Vorgang mit a. beschränktem Wachstum, b. logistischem Wachstum mit positiver Kapazitätsgrenze K. Zeige, dass die Funktion f auf R + streng monoton wachsend ist. 457 Ein neues kostenloses Spiel für Smartphones verbreitet sich rasant. Eine Woche nach Erscheinen besitzen erst 700 Personen dieses Spiel. Eine Woche später sind es bereits 1 900. Finde eine Funk- tion, die jeder positiven Zahl t die Anzahl der Personen zuordnet, die nach t Wochen dieses Spiel besitzen. a. Nimm zunächst an, dass die Verbreitung dieses Spiels dem exponentiellen Wachstum folgt. Ermittle die Wachstumsfunktion f mit f(t) = c·a t . b. Schätze mithilfe der Funktion aus Aufgabe a. , wie viele Personen bei exponentiellem Wachs- tum nach 10 Wochen dieses Spiel besitzen werden. c. Gib an, wie lange es bei exponentiellem Wachstum dauern wird, bis 1 Million Personen dieses Spiel besitzen. d. Aus Erfahrungen mit ähnlichen Spielen weiß man, dass die Zielgruppe für dieses Spiel etwa 4,5 Millionen Personen ausmacht. Das Wachstum kann daher auf lange Sicht nicht wirklich exponentiell sein. Vermutlich wird die Verbreitung dieses Spiels eher dem logistischen Wachstum folgen. Ermittle die Wachstumsfunktion y mit y(t) = K _ 1 + c·a t . e. Schätze nun, wie viele Personen bei logistischem Wachstum nach 10 Wochen dieses Spiel besitzen werden. f. Gib an, wie lange es bei logistischem Wachstum dauern wird, bis 90% der Zielgruppe dieses Spiel besitzen. g. Stelle die Graphen der exponentiellen und der logistischen Wachstumsfunktion in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar. Ermittle, ab der wievielten Woche sich die beiden Modelle erstmals deutlich voneinander unterscheiden. B, C, D ggb 85254w B, C, D ggb 533b6a C D A, B, C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv