Mathematik HTL 2, Schulbuch

103 3.3 Beschreiben von Wachstum mithilfe von Exponentialfunktionen 450 Für manche Schilddrüsenuntersuchungen wird Patienten die schwach radioaktive Substanz Technetium verabreicht. Diese lagert sich in der Schilddrüse ab und so kann diese untersucht werden. Die Halbwertszeit von Technetium beträgt 6 Stunden. Berechne, wie lange es dauert, bis nur mehr 1% der verabreichten Dosis vorhanden ist. 451 Ein Medikament wird vom menschlichen Körper mit einer Halbwertszeit von 5 Stunden aus- geschieden. Einem Patienten wird eine Tablette mit 1,5g Wirkstoff verabreicht. a. Berechne, wann nur noch 0,2g nachgewiesen werden können. b. Ermittle, wie lange man das Medikament nachweisen kann, wenn der Wirkstoff nur bis zu einer Menge von 0,01 g nachgewiesen werden kann. Beschränktes und logistisches Wachstum Beschreibt man einen Vorgang durch eine Funktion f, dann spricht man  von beschränktem (oder gebremstem) Wachstum , wenn für alle Zahlen t im Definitions- bereich gilt: f(t) = K·(1 – c·a t ) , wobei K, c und a positive reelle Zahlen mit a < 1 und c < 1 sind,  von logistischem Wachstum , wenn für alle Zahlen t im Definitionsbereich gilt: f(t) = K _ 1 + c·a t , wobei K, c und a positive reelle Zahlen mit a < 1 und c < 1 sind. In beiden Fällen liegt für genügend große Zahlen t der Funktionswert f(t) sehr nahe bei K und f(t) ª K, daher heißt K die Kapazitätsgrenze des Vorganges. beschränktes Wachstum: logistisches Wachstum: 452 Untersuche, ob durch die Funktion f ein Vorgang mit exponentiellem Wachstum, exponentieller Abnahme, beschränktem Wachstum oder logistischem Wachstum beschrieben wird. a. f(t) = 2 __ 3 + 4·2 ‒2t b. f(t) = 1,23·e ‒t c. f(t) = 3 2 – 5· 2 1 _ 2 3 2t d. f(t) = 2 1 _ 3 3 ‒ t _ 2 a. f(t) = 2 __ 3 + 4·2 ‒2t = 2 _ 3 __ 1 + 4 _ 3 ·2 ‒2t = 2 _ 3 __ 1 + 4 _ 3 ·(2 ‒2 ) t = 2 _ 3 __ 1 + 2 4 _ 3 3 · 2 1 _ 4 3 t Daher beschreibt f einen Vorgang mit logistischem Wachstum mit Kapazitätsgrenze 2 _ 3 , c = 4 _ 3 > 0 und 0 < a = 1 _ 4 < 1. b. f(t) = 1,23·e ‒t = 1,23· 2 1 _ e 3 t Weil 1 _ e < 1 ist, beschreibt f einen Vorgang mit exponentieller Abnahme. c. f(t) = 3 2 – 5· 2 1 _ 2 3 2t = 9· 2 1 – 2 5 _ 9 3 · 2 1 _ 2 3 2t 3 = 9· 2 1 – 2 5 _ 9 3 · 2 1 _ 4 3 t 3 Daher beschreibt f einen Vorgang mit beschränktem Wachstum mit Kapazitätsgrenze 9, c = 5 _ 9 > 0 und 0 < a = 1 _ 4 < 1. d. f(t) = 2 1 _ 3 3 ‒ t _ 2 = 3 t _ 2 = 9 _ 3 t Weil 9 _ 3 > 1 ist, beschreibt f einen Vorgang mit exponentiellem Wachstum. A, B A, B ggb k432ey beschränktes Wachstum logistisches Wachstum Kapazitäts- grenze f(t) t f(t) t C entscheiden, ob eine Funktion exponentielles, beschränktes oder logistisches Wachstum beschreibt Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv