Mathematik HTL 2, Schulbuch

101 3.3 Beschreiben von Wachstum mithilfe von Exponentialfunktionen 436 Nimm an, dass die Bevölkerung eines Staates mit derzeit 12 Mio. Einwohnern pro Jahr um 2,5% zunimmt. a. Ermittle die Funktion, die jedem Zeitpunkt die Einwohnerzahl dieses Staates zu diesem Zeit- punkt zuordnet. b. Wie viele Einwohner hat dieser Staat nach 5 Jahren, nach 7,5 Jahren bzw. nach 20 Jahren? c. Berechne, wie viele Menschen vor 2 Jahren in diesem Staat lebten. d. Wie viele Menschen leben in 1 000 Jahren in diesem Staat? Argumentiere, ob die Annahme „die jährliche Zuwachsrate ist 2,5%“ sinnvoll ist. 437 Manchen Prognosen entsprechend wächst die Weltbevölkerung exponentiell und wird im Jahre 2050 die 10 Mrd. Menschen Grenze überschreiten. Im Jahr 2000 haben ca. 6 Mrd. Menschen auf der Erde gelebt. a. Gib an, welche jährliche Wachstumsrate dieser Prognose zugrundeliegt. b. Wann werden 20 Mrd. Menschen die Erde bevölkern? Berechne. c. Ermittle, wie viele Menschen es nach diesem Modell im Jahr 2500 geben wird. d. Beurteile, ob das Modell realistisch ist. 438 Experimente legen nahe, dass die Höhe des Bierschaums in einem Glas exponentiell mit der Zeit abnimmt. Eine Versuchsreihe ergab das folgende Gesetz: Die Höhe des Bierschaums nach t Sekunden beträgt h(t) = 6·e ‒0,022t cm. a. Gib an, wie hoch der Bierschaum zu Beginn des Experiments ist. b. Berechne, wie hoch der Bierschaum im Glas nach einer Minute ist. c. Ermittle, wann der Bierschaum nur noch 5mm hoch ist. 439 Die Funktion d, die jeder Zahl h den Luftdruck in mbar in der Höhe von h Metern über dem Meer zuordnet, ist ein Vielfaches einer Exponentialfunktion. Das heißt, es gibt eine positive Zahl a und eine Zahl c so, dass d(h) = c·a h ist. Der Luftdruck beträgt in 5500m Seehöhe nur noch 50% des Druckes auf Meeresniveau (1 013mbar). a. Berechne c und a. b. Gib an, wie hoch der Luftdruck am Großglockner (3798m) ist. c. Ermittle, wie hoch der Luftdruck am Toten Meer (‒ 422,5m) ist. 440 Die Funktion f, die jeder positiven Zahl t die Lichtintensität in der Tiefe von t Metern unter der Wasseroberfläche zuordnet, ist ein Vielfaches einer Exponentialfunktion. Die Lichtintensität unter Wasser nimmt mit der Tiefe ab, und zwar in etwa 7% pro Meter. a. Gib die Funktion f an. b. Wie viel Prozent der Lichtintensität an der Oberfläche werden in 5,5m Tiefe gemessen? 441 Ein Körper hat zur Zeit 0 die Temperatur T 0 , seine Umgebung hat die Temperatur T 1 . Aus der Wärmelehre ist bekannt: Die Temperatur T(t) des Körpers zur Zeit t ist gleich T 1 + (T 0 – T 1 )·e ‒kt . Dabei ist k eine Zahl, die durch den Körper bestimmt ist. Beobachtet nun gemeinsam einen Abkühlvorgang eurer Wahl (Kaffee, Tee, Suppe etc.). a. Sorgt dafür, dass ihr für euer Experiment Temperatur und Zeit messen könnt. b. Erstellt eine Tabelle, in der ihr Umgebungstemperatur, Temperatur der Testflüssigkeit und die jeweilige Messzeit festhält. c. Berechnet mithilfe der gewonnen Daten aus Aufgabe b. die Zahl k. d. Überprüft euer Ergebnis mit allen gemessenen Daten. e. Könnt ihr nun vorhersagen, welche Temperatur zum Beispiel euer Kaffee nach 5 oder 10 Minuten hat? Experimentiert mit verschiedenen Ausgangstemperaturen. A, B, D A, B, D B B A, B B, C ggb 6g7c7a Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv