Mathematik HTL 2, Schulbuch

100 Exponential- und Logarithmusfunktionen 431 In einer Bakterienkultur befinden sich N Bakterien. Nach 3 Stunden sind es 12500 Bakterien und nach weiteren 2 Stunden 16000 Bakterien. Wir nehmen exponentielles Wachstum an. a. Berechne, wie viele Bakterien es zu Beginn waren. b. Gib an, wie viele Bakterien nach 6,5 Stunden vorhanden sind. a. Exponentielles Wachstum annehmen bedeutet, dass wir die Funktion f, die jeder Zahl t die Anzahl der Bakterien zur Zeit t (in Stunden) zuordnet, durch das Vielfache einer Exponential- funktion (deren Basis größer 1 ist) beschreiben. Wir nehmen also an, dass es nach t Stunden f(t) = N·q t Bakterien gibt. Dabei ist N = f(0) die Anzahl der Bakterien am Anfang und q eine geeignete Zahl > 1. Nach Angabe ist f(3) = 12500 = N·q 3 und f(5) = 16000 = N·q 5 . Wir bilden den Quotienten f(5) _ f(3) und erhalten: N·q 5 _ N·q 3 = 16000 _ 12500 q 2 = 1,28 q = 9 ___ 1,28 ≈ 1,1314 Aus f(3) = N·1,1314 3 = 12500 erhalten wir N = 12500 _ 1,1314 3 ≈ 8630. Somit waren es zu Beginn etwa 8630 Bakterien. Wir können das Wachstum der Bakterien also durch die Funktion f mit f(t) = 8630·1,1314 t beschreiben. b. Es ist f(6,5) ≈ 19250, also besteht die Bakterienkultur nach 6,5 Stunden aus ungefähr 19250 Bakterien. Sollte sich beim Abzählen nach 6,5 Stunden herausstellen, dass nicht 19250, sondern zum Beispiel nur 15000 oder sogar 50000 Bakterien vorhanden sind, dann war die Annahme des exponentiellen Wachstums nicht richtig. 432 Bei günstigen Bedingungen verdoppeln gewisse Bakterien ihre Anzahl alle 10 Minuten. a. Berechne, wie lange es dauert, bis diese Bakterienkultur auf 350% der ursprünglichen Zahl anwächst. b. Ermittle, wie lange es braucht, bis aus 100 Bakterien 1 000000 entstehen. 433 Gewisse Bakterien vermehren sich pro Stunde um 75%. Derzeit sind es 10000 Bakterien. a. Gib an, wie viele Bakterien es in 2 bzw. in 4 Stunden sein werden. b. Ermittle, wie viele es vor einer halben Stunde waren. 434 Milchbakterien vermehren sich um 50% pro Stunde. In einer Probe sind 10000 Bakterien. a. Gib an, wie viele Bakterien es in 5 Stunden bzw. in 8 Stunden sein werden. b. Ermittle, wie viele es vor 3 Stunden waren. c. Berechne, wann es 500000 Bakterien sein werden. 435 Ein Organismus wird von 1 400 Viren befallen, die sich jede Stunde um 25% vermehren. a. Beschreibe die Funktion, die jeder Zahl t die Anzahl der Viren im Organismus t Stunden nach dem Befall zuordnet. b. Ermittle, wie viele Viren sich 10 Stunden nach dem Befall im Organismus befinden. c. Der Organismus erkrankt, wenn die Virenzahl 800000 überschritten hat. Berechne, wie viele Stunden nach dem Befall der Organismus erkrankt. A, B Berechnungen bei exponentiellem Wachstum ggb/mcd/tns 7j2r7b A, B A, B A, B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv