Mathematik HTL 1, Schulbuch

92 Lineare Gleichungen und Ungleichungen mit einer Unbekannten 441 Bei Parallelschaltung eines Ohmschen Widerstandes R 1 mit zwei in Serie geschalteten Ohmschen Widerständen R 2 und R 3 gilt für den Gesamtwiderstand R: 1 _ R = 1 _ R 1 + 1 _ R 2 + R 3 Berechne den Widerstand R 2 , wenn R, R 1 und R 3 bekannt sind. Wir formen die Formel nach R 2 um. Die Zahlen R, R 1 , R 2 + R 3 und R 1 – R sind ungleich 0, wir dür- fen daher mit diesen multiplizieren bzw. durch diese dividieren. 1 _ R = 1 _ R 1 + 1 _ R 2 + R 3 ! ·R 1 = R _ R 1 + R _ R 2 + R 3 ! ·R 1 R 1 = R + RR 1 _ R 2 + R 3 ! ·(R 2 + R 3 ) R 1 (R 2 + R 3 ) = R(R 2 + R 3 ) + RR 1 ! ausmultiplizieren R 1 R 2 + R 1 R 3 = RR 2 + RR 3 + RR 1 ! – RR 2 – R 1 R 3 R 1 R 2 – RR 2 = RR 3 + RR 1 – R 1 R 3 ! R 2 auf der linken Seite herausheben R 2 (R 1 – R) = RR 3 + RR 1 – R 1 R 3 ! : (R 1 – R) R 2 = RR 3 + RR 1 – R 1 R 3 ___ R 1 – R Wenn zum Beispiel R = 8 Ω , R 1 = 10 Ω und R 3 = 3 Ω , dann erhalten wir R 2 durch Rechnung: R 2 = 8·3 + 8·10 – 3·10 ___ 10 – 8 = 74 _ 2 = 37 Ω Hätten wir R = 8 Ω , R 1 = 10 Ω und R 3 = 3 Ω vor dem Umformen der Formel nach R 2 gemessen, hätten wir R 2 auch so berechnen können: Wir schreiben die bekannten Zahlen in der Formel 1 _ R = 1 _ R 1 + 1 _ R 2 + R 3 an: 1 _ 8 = 1 _ 10 + 1 _ R 2 + 3 ! – 1 _ 10 1 _ 40 = 1 _ R 2 + 3 R 2 ist eine positive Zahl, also ist R 2 + 3 nicht 0. Wir dürfen also beide Seiten der Gleichung mit 40 und mit R 2 + 3 multiplizieren: R 2 + 3 = 40 ! – 3 R 2 = 37 Ω 442 Berechne die gesuchte Zahl durch Einsetzen der bekannten Zahlen und Umformen der entstehenden Gleichung. a. F = G m 1 m 2 _ r 2 ; G = 6,67·10 ‒11 Nm 2 kg ‒2 , m 1 = 5,97·10 24 kg, r = 3,84·10 8 m, F = 1,98·10 20 N; m 2 = ? b. v = s 2 – s 1 _ t 2 – t 1 ; v = 60 km/h, s 2 = 40 km, t 1 = 2h, t 2 = 1 h 30min; s 1 = ? c. s = s 0 + v 0 t + 1 _ 2 at 2 ; s = 80m, s 0 = 20m, v 0 = 10m/s, t = 5 s; a = ? d. E = 1 _ 2 m 1 m 2 __ m 1 + m 2 4 (v 1 – v 2 ) 2 + v 1 v 2 5 ; E = 10 5 kgm 2 /s 2 , v 1 = 10m/s, v 2 = ‒15m/s, m 1 = 7·10 2 kg; m 2 = ? 443 Berechne die gesuchte Zahl durch Einsetzen der bekannten Zahlen und Umformen der entstehenden Gleichung. a. ή gh = K – 1 _ 2 ή v 2 ; g = 9,81m/s 2 , h = 3m, v = 37,8m/s, K = 8·10 5 kg/(ms 2 ); ή = ? b. O = 2ab + 2ac + 2bc; O = 1 440 cm 2 , a = 15 cm, b = 20 cm; c = ? c. 1 _ R = 1 _ R 1 + 1 _ R 2 + 1 _ R 3 ; R = 8 Ω , R 1 = 10 Ω , R 3 = 120 Ω ; R 2 = ? d. I y = 1 _ 12 (BH 3 – bh 3 ); I y = 2246 cm 4 , H = 20 cm, b = 8,8 cm, h = 18,2 cm; B = ? B eine unbekannte Zahl mithilfe einer Formel berechnen Variante 1 Variante 2 B B mcd/tns 6qr6fn Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv