Mathematik HTL 1, Schulbuch

80 Lineare Gleichungen und Ungleichungen mit einer Unbekannten 363 Beim Bearbeiten der Aufgaben 360 bzw. 361 hast du das allgemeine Verfahren angewandt, eine komplizierte Aufgabe in eine einfachere Aufgabe umzuformen. Erfinde nun gemeinsam mit deiner Sitznachbarin/deinem Sitznachbarn mindestens 4 weitere Aufgaben dieser Art. Orientiert euch dabei an den Aufgaben 360 und 361. 364 Finde eine Zahl x so, dass 5x + 2 _ 3 – 6x – 3x – 2 _ 2 – 4x = 7x – 8 _ 4 – 8x – 1 _ 6 ist. Damit diese Bedingung für x überhaupt Sinn macht, müssen wir voraussetzen, dass alle Zahlen, durch die wir dividiert haben, nicht 0 sind. Also: 3 – 6x, 2 – 4x und 4 – 8x dürfen nicht 0 sein. Das ist genau dann der Fall, wenn x ≠ 0,5 ist. Die drei Divisoren 3 – 6x, 2 – 4x und 4 – 8x können wir durch Herausheben in der Form 3(1 – 2x), 2(1 – 2x) und 4(1 – 2x) schreiben. Multiplizieren wir daher beide Seiten der Gleichung mit 1 – 2x (nach Annahme ist diese Zahl nicht 0!), so erhalten wir 5x + 2 _ 3 – 3x – 2 _ 2 = 7x – 8 _ 4 – 1 – 2x _ 6 . Die Aufgabe, die Zahl x zu berechnen, ist daher wieder eine lineare Gleichung. Nun geht es wie gewohnt weiter. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen auf beiden Seiten ergibt: 5x _ 3 + 3 _ 2 – 3x _ 2 + 2 _ 2 = 7x _ 4 – 8 _ 4 – 1 _ 6 + 2x _ 6 ! zusammenfassen 2 5 _ 3 – 3 _ 2 3 x + 2 2 _ 3 + 1 3 = 2 7 _ 4 + 1 _ 3 3 x – 2 2 + 1 _ 6 3 ! vereinfachen 1 _ 6 x + 5 _ 3 = 25 _ 12 x – 13 _ 6 ! ·2·2·3 2x + 20 = 25x – 26 ! – 2x 20 = 23x – 26 ! + 26 46 = 23x ! : 23 2 = x 365 Finde eine Zahl x so, dass 3x _ x + 1 + 5 _ x = 3 ist. Diese Bedingung ist nur sinnvoll, wenn x + 1 und x nicht 0 sind. Wir nehmen also an, dass x ≠ ‒1 und x ≠ 0 ist. Dann dürfen wir beide Seiten mit x und dann mit x + 1 multiplizieren. 3x _ x + 1 + 5 _ x = 3 ! ·x 3x 2 _ x + 1 + 5 = 3x ! ·(x + 1) 3x 2 + 5 (x + 1) = 3x(x + 1) ! ausmultiplizieren 3x 2 + 5x + 5 = 3x 2 + 3x ! – 3x 2 5x + 5 = 3x Die Aufgabe ist also eine lineare Gleichung, die wir lösen können. 5x + 5 = 3x ! – 3x 2x + 5 = 0 ! – 5 2x = ‒ 5 ! : 2 x = ‒ 2,5 366 Ist die Aufgabe eine lineare Gleichung oder kann sie als solche aufgefasst werden? Begründe. a. Finde eine Zahl z so, dass 4z + 1 _ z = 5 – 4(1 – z) ist. Dabei soll z ≠ 0 sein. b. Finde eine Zahl t so, dass 5 _ t – 4 + 2 = 13 _ t ist. Dabei soll t ≠ 0 und t – 4 ≠ 0 sein. c. Für welche Zahl x gilt 1 _ x = 5 + 2 _ x ? Dabei soll x ≠ 0 sein. d. Berechne eine Zahl y für die 2 _ y – 1 + 3 _ y + 1 = 4 __ (y – 1)(y + 1) ist. Dabei soll y ≠ 1 und y ≠ ‒1 sein. e. Finde eine Zahl s so, dass 2s _ s + 2 – s _ s – 2 = s 2 __ (s – 2)(s + 2) ist. Dabei soll s + 2 ≠ 0 und s – 2 ≠ 0 sein. f. Für welche Zahl u ist 2 _ u 2 – 4u + 1 = 3 _ u 2 – 3u ? Dabei soll u 2 – 4u ≠ 0 und u 2 – 3u ≠ 0 sein. A B eine Gleichung mit einer Unbekannten, in der die Unbekannte in mindestens einem Divisor vorkommt, lösen B eine Gleichung mit einer Unbekannten, in der die Unbekannte in mindestens einem Divisor vorkommt, lösen D ggb/mcd/tns q7f6r9 ggb/mcd/tns w6u435 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv