Mathematik HTL 1, Schulbuch

79 2.2 Äquivalenzumformungen Zurückführen spezieller Gleichungen auf lineare Gleichungen Manchen Aufgaben sieht man es nicht von vornherein an, dass sie durch eine lineare Gleichung beschrieben werden können. Sie sind zunächst komplizierter gegeben. In diesem Fall wenden wir wieder unsere allgemeine Problemlösestrategie an: Wenn wir eine Aufgabe nicht sofort lösen können, dann verändern wir die Aufgabe so, dass sie einfacher wird, zugleich aber dieselbe Lösung wie die ursprüngliche Aufgabe hat. In den folgenden Aufgaben ist wieder jeweils eine Zahl gesucht, die eine gegebene Bedingung erfüllt. Durch Äquivalenzumformungen versuchen wir, diese Gleichung auf eine lineare Gleichung zurückzuführen, deren Lösung diese gesuchte Zahl ist. Das gelingt aber nicht immer! 359 Berechne eine Zahl u so, dass (3u – 4) 2 – 5u(2u + 7) = (u + 4)(u – 4) – 2u(u + 1) ist. Zuerst quadrieren wir und multiplizieren auf beiden Seiten aus. 9u 2 – 24u + 16 – 10u 2 – 35u = u 2 – 16 – 2u 2 – 2u ! zusammenfassen ‒u 2 – 59u + 16 = ‒u 2 – 2u – 16 ! + u 2 ‒ 59u + 16 = ‒ 2u – 16 Die Aufgabe, u zu berechnen, ist nun zu einer linearen Gleichung geworden, die wir lösen können. ‒ 59u + 16 = ‒ 2u – 16 ! + 2u ‒ 57u + 16 = ‒16 ! – 16 ‒ 57u = ‒ 32 ! : (‒ 57) u = 32 _ 57 360 Entscheide, ob die Aufgabe eine lineare Gleichung ist oder als solche aufgefasst werden kann. Begründe. a. Finde eine Zahl t so, dass t _ 4 + 15 = 23 – t ist. b. Finde eine Zahl x so, dass 2(x – 3) 2 = (x – 4)(2x + 2) + 2(x – 1) ist. c. Finde eine Zahl y so, dass (y + 2)·3y = 6y(y – 1) ist. d. Finde eine Zahl r so, dass (r – 4)(2r + 8) – 27 = (2r + 8) 2 – (r + 1)(r – 1) ist. e. Finde eine Zahl u so, dass u = 5 – 7 _ 8 + 23 ist. f. Finde eine Zahl z so, dass 3(z + 7) 2 – (z – 2) 2 = (2z + 4) 2 – 2z 2 ist. 361 Löse die Gleichung durch Umformen in eine lineare Gleichung. a. 5x(3 – 2x) – 4(3x + 4) + 2x 2 = (2x + 5)(1 – 4x) b. 4(3t – 5) – 6(2t – 5) + t(4t + 11) = (5 – t)(8 – 4t) – 17 c. (4z + 1)(z – 8) + (z + 5) 2 = (3z – 1) 2 – (2z + 5)(2z – 5) d. (6y – 4) 2 – (2y + 3)(2y – 3) = (4y + 1)(4y – 1) + (4y – 5) 2 e. 6(2u – 6)(5u – 3) – 3(4u – 5)(5u – 12) = 5(17 – 2u) – 1 f. (5s – 6) 2 – (3s – 7) 2 = (9 – 4s) 2 – 2(7 + 5s) 362 Im Internet sind viele Werkzeuge verfügbar, mit denen lineare Gleichungen gelöst werden können. a. Sucht mit den Schlagworten „Gleichungslöser“ oder auch „Lineare Gleichungen online lösen“ einige dieser Werkzeuge, erstellt eine Liste und wählt drei davon aus. b. Wählt drei unterschiedliche lineare Gleichungen aus. (TIPP: Greift dafür auf die Aufgaben in diesem Kapitel zurück.) Löst diese Gleichungen mit den von euch ausgewählten Werkzeugen. Dokumentiert in euren Unterlagen, welche Programme welche der Aufgaben richtig lösen. Gibt es ein Werkzeug, das ihr bevorzugen würdet? c. Automatisiert mithilfe vordefinierter Funktionen eines Tabellenkalkulationsprogramms oder eines selbst geschriebenen Programms das Lösen von Gleichungen der Art ax + b = cx + d. Bewertet die Lösungen und wählt gemeinsam die beste aus. B eine Gleichung mit einer Unbekannten, in der die Unbekannte mit Hochzahl 2 vorkommt, lösen D B B, D ggb/mcd/tns jt3tk6 Link rw547s Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv