Mathematik HTL 1, Schulbuch

77 2.2 Äquivalenzumformungen Beide Seiten einer Gleichung dürfen mit derselben von 0 verschiedenen Zahl multipliziert werden. Wenn zum Beispiel 3z + 4 = 5 ist, dann ist auch 3(3z + 4) = 3·5, also 9z + 12 = 15. Wir schreiben kurz: 3z + 4 = 5 ! ·3 9z + 12 = 15 Beide Seiten einer Gleichung dürfen durch dieselbe von 0 verschiedene Zahl dividiert werden. Wenn zum Beispiel 3z + 4 = 5 ist, dann ist auch 3 _ 3 z + 4 _ 3 = 5 _ 3 , also z + 4 _ 3 = 5 _ 3 . Wir schreiben kurz: 3z + 4 = 5 ! : 3 z + 4 _ 3 = 5 _ 3 Tipp Beim Umformen von Gleichungen gehen wir günstigerweise so vor: Zuerst lösen wir alle Klammern durch Ausmultiplizieren auf.  Dann fassen wir zusammen und sorgen durch Addition oder Subtraktion (auf beiden Seiten  der Gleichung) dafür, dass auf einer Seite der Gleichung ein Vielfaches der gesuchten Zahl und auf der anderen eine Zahl steht. Nun formen wir durch Multiplikation oder Division (auf beiden Seiten der Gleichung) auf die  gesuchte einfache Form um. 349 Löse die Gleichung (3x + 4)·7 – 8 = 6 und mach die Probe. (3x + 4)·7 – 8 = 6 ! Klammer durch Ausmultiplizieren auflösen 21x + 28 – 8 = 6 ! zusammenfassen 21x + 20 = 6 ! – 20 21x = ‒14 ! : 21 x = ‒ 14 _ 21 ! kürzen x = ‒ 2 _ 3 Probe: Ersetzen von x durch ‒ 2 _ 3 in der Gleichung liefert: 2 3· 2 ‒ 2 _ 3 3 + 4 3 ·7 – 8 = (‒ 2 + 4)·7 – 8 = 2·7 – 8 = 14 – 8 = 6 stimmt! 350 Das Zurückführen einer Aufgabe auf eine einfacher zu lösende Aufgabe ist eine allgemeine (mathematische) Vorgangsweise, die wir schon in Kapitel 1 kennengelernt haben. Wo? Beschreibe kurz die dortige Problemstellung. (Wenn du dich nicht erinnerst, solltest du in Kapitel 1 nachblättern.) 351 Handelt es sich bei der Umformung um eine Äquivalenzumformung? Erkläre gegebenenfalls, worin der Umformungsfehler besteht. a. 6a + 11 = 24 ! : 6 d. 12 – 3x = 24 ! – 12 a + 11 = 4 ! – 11 3x = 12 ! : 3 a = ‒7 x = 4 b. 2x + 4 = x + 8 x + 2 = x _ 2 + 4 x = x _ 2 + 2 2x = x + 2 x = 2 ! : 2 ! – 2 ! ·2 ! – x e. 3u + 2 = u _ 2 – 1 6u + 4 = u – 1 5u + 4 = ‒1 5u = ‒ 5 u = ‒1 ! ·2 ! – u ! – 4 ! : 5 c. 3 – 2(5t + 1) = 7t – 4 ! + 3 f. 6y – 3(y – 4) = 15 – 2y 2(5t + 1) = 7t – 1 6y – 3y – 12 = 15 – 2y 10t + 2 = 7t – 1 ! – 2 3y – 12 = 15 – 2y ! – 15 10t = 7t – 3 ! – 7t 3y – 27 = 2y ! – 3y 3t = ‒ 3 ! : 3 ‒ 27 = ‒ y ! ·(‒1) t = ‒1 27 = y B eine lineare Gleichung mit einer Unbekannten umformen und die Probe machen C D ggb/mcd/tns ba9i2j Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv