Mathematik HTL 1, Schulbuch

76 2.2 Äquivalenzumformungen Ich lerne zu entscheiden, ob lineare Gleichungen mit einer Unbekannten äquivalent umgeformt wurden, und ich lerne meine Entscheidung zu begründen. Ich lerne lineare Gleichungen mit einer Unbekannten zu lösen. Ich lerne zu entscheiden, ob spezielle Gleichungen in lineare Gleichungen mit einer Unbekannten umgeformt werden können. Die Aufgabe „Finde eine Zahl z mit z = 2“ ist besonders einfach zu lösen. Die gesuchte Zahl ist 2. Meist haben wir es aber mit komplizierteren linearen Gleichungen mit einer Unbekannten zu tun, die wir erst auf diese besonders einfache Form bringen müssen. 348 Finde eine Zahl x so, dass 2x + 5 – (x + 3) = 4x + 3 + 2(x – 2) ist. Diese Gleichung kann in einfachere Gleichungen mit derselben Lösung umgeformt werden: 2x + 5 – (x + 3) = 4x + 3 + 2(x – 2) ! Klammern auflösen 2x + 5 – x – 3 = 4x + 3 + 2x – 4 ! zusammenfassen x + 2 = 6x – 1 ! 6x von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren x + 2 – 6x = 6x – 1 – 6x ! zusammenfassen ‒ 5x + 2 = ‒1 ! 2 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren ‒ 5x + 2 – 2 = ‒1 – 2 ! zusammenfassen ‒ 5x = ‒ 3 ! beide Seiten der Gleichung durch ‒ 5 dividieren ‒5x _ ‒5 = ‒3 _ ‒5 ! vereinfachen/ausrechnen x = 3 _ 5 Was ist eine „Äquivalenzumformung“? Tipp Zum Lösen von Gleichungen verwenden wir die folgende Vorgangsweise: Wenn wir eine Aufgabe nicht sofort lösen können, dann verändern wir die Aufgabe so, dass sie einfacher wird, zugleich aber dieselbe Lösung wie die ursprüngliche Aufgabe hat. Dies wiederholen wir so lange, bis die Aufgabe so leicht geworden ist, dass wir sie „im Kopf“ lösen können. Zwei Gleichungen, die dieselbe Lösung haben, nennen wir äquivalent . Den Übergang von einer Gleichung zu einer äquivalenten Gleichung nennen wir erlaubte Umformung oder Äquivalenz- umformung einer Gleichung. Neben dem Auflösen bzw. Ausmultiplizieren von Klammern und dem Zusammenfassen sind die folgenden Umformungen Äquivalenzumformungen. Die beiden Seiten einer Gleichung dürfen vertauscht werden. Wenn zum Beispiel 3z + 4 = 5 ist, dann ist auch 5 = 3z + 4. Zu beiden Seiten einer Gleichung darf dieselbe Zahl addiert werden. Wenn zum Beispiel 3z + 4 = 5 ist, dann ist auch 3z + 4 + 3 = 5 + 3, also 3z + 7 = 8. Wir schreiben kurz: 3z + 4 = 5 ! + 3 3z + 7 = 8 Von beiden Seiten einer Gleichung darf dieselbe Zahl subtrahiert werden. Wenn zum Beispiel 3z + 4 = 5 ist, dann ist auch 3z + 4 – 3 = 5 – 3, also 3z + 1 = 2. Wir schreiben kurz: 3z + 4 = 5 ! – 3 3z + 1 = 2 B eine lineare Gleichung mit einer Unbekannten umformen äquivalent Äquivalenz- umformung Äquivalenz- umformungen von Gleichungen ggb/mcd/tns 3e22s9 ggb bg33jv Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv