Mathematik HTL 1, Schulbuch

69 Zusammenfassung Alle Zahlen, die wir auf der Zahlengeraden darstellen können, nennen wir reelle Zahlen . Zu den reellen Zahlen gehören:  die natürlichen Zahlen : 0, 1, 2, 3 …  die ganzen Zahlen : … ‒ 2, ‒1, 0, 1, 2 …  die rationalen Zahlen : Quotienten a _ b ganzer Zahlen a und b, wobei b ≠ 0 ist  die irrationale Zahlen : reelle Zahlen, die nicht rational sind Für ganze Zahlen a, b, c, d, wobei b und d von 0 verschieden sind, gilt: a _ b + c _ d = ad + bc _ b·d a _ b – c _ d = ad – bc _ b·d a _ b · c _ d = a·c _ b·d a _ b _ c _ d = a·d _ b·c bzw. a _ b / c _ d = a·d _ b·c Für das praktische Rechnen stellen wir rationale Zahlen häufig (näherungsweise) mit Ziffern zur Basis 10, z.B. 453,793 10 oder zur Basis 2, z.B. 101,1101 2 dar. Dabei ist 453,793 10 = 4·10 2 + 5·10 1 + 3·10 0 + 7·10 ‒1 + 9·10 ‒2 + 3·10 ‒3 , 101,1101 2 = 1·2 2 + 0·2 1 + 1·2 0 + 1·2 ‒1 + 1·2 ‒2 + 0·2 ‒3 + 1·2 ‒4 . Rationale Zahlen, die wir durch Ziffern zur Basis 10 bzw. zur Basis 2 exakt darstellen können, heißen Dezimalzahlen bzw. Dualzahlen . Wenn mehrere Rechenoperationen ausgeführt werden, dann berechnet man zuerst die Klammern,  dann Potenzen,  danach Multiplikationen und Divisionen  und zum Schluss Additionen und Subtraktionen.  Für beliebige reelle Zahlen a, b und c gilt: (a + b) + c = a + (b + c) und (a·b)·c = a·(b·c) a + b = b + a und a·b = b·a (a + b)·c = a·c + b·c Für zwei von 0 verschiedene Zahlen a und b und rationale Zahlen m und n gilt: a n ·a m = a n + m a n _ a m = a n – m a 0 = 1 a ‒n = 1 _ a n (a n ) m = a n·m (a·b) n = a n ·b n 2 a _ b 3 n = a n _ b n Für beliebige reelle Zahlen a und b gelten die binomischen Formeln : (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 (a – b)(a + b) = a 2 – b 2 Für positive ganze Zahlen m und n und positive reelle Zahlen a ist a m _ n = n 9 __ a m und a ‒ m _ n = n 9 ___ 2 1 _ a 3 m . Zahlen Rechenregeln für rationale Zahlen Ziffern- darstellung Rechenregeln für reelle Zahlen binomische Formeln Wurzeln Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv