Mathematik HTL 1, Schulbuch

64 Zahlen Beispiel: Eine Polizistin fragt einen Verdächtigen: „Wo waren Sie gestern um 22 Uhr?“ Dieser denkt nach: „Zuerst war ich bei einem Vortrag, dann bin ich nach Hause gegangen. Für den Heimweg habe ich eine halbe Stunde gebraucht. Ich weiß aber nicht mehr genau, wann der Vortrag aus war. Vielleicht um 21:30 Uhr?“ Also antwortet er: „Wenn der Vortrag um 21:30 Uhr aus war, dann war ich um 22 Uhr zu Hause.“ Von einem Nachbarn erfährt die Polizistin, dass der Verdächtige erst um 22:30 Uhr nach Hause gekommen ist. Nehmen wir an, der Nachbar sagt die Wahrheit. War dann die Aussage des Verdächtigen falsch? Das hängt davon ab, wann der Vortrag wirklich aus war. War der Vortrag, wie der Verdächtige annimmt, wirklich um 21:30 Uhr aus, dann war die Aussage falsch. Wenn der Vortrag aber nicht um 21:30 Uhr aus war (sondern zum Beispiel erst um 22 Uhr), dann war die Aussage nicht falsch, also wahr! Wir können das auch anders formulieren: Wenn die Aussage des Verdächtigen und die Aussage des Nachbarn wahr waren, kann die Polizistin daraus nur schließen, dass der Vortrag nicht um 21:30 Uhr zu Ende war! Wenn A und B Aussagen sind, dann ist auch A É B (sprich: „A genau dann, wenn B“) eine Aussage. Eine solche Aussage nennt man GENAU-DANN-WENN-Verknüpfung oder Äquivalenz . Diese Aussage soll wahr sein, wenn A und B den gleichen Wahrheitswert haben, sie soll falsch sein, wenn A und B verschiede Wahrheitswerte haben. Beispiele : Die Aussage „3 = 4  É (3 + 1) = (4 + 1)“ ist wahr, weil die Aussagen „3 = 4“ und „3 + 1 = 4 + 1“ beide falsch sind. Die Aussage „3 = 3  É (3 + 1) = (3 + 1)“ ist wahr, weil die Aussagen „3 = 3“ und „3 + 1 = 3 + 1“ beide wahr sind. Wir können nicht nur zwei, sondern auch mehrere Aussagen mit den Worten „und“, „oder“, „nicht“, „wenn – dann“ und „genau dann – wenn“ zusammensetzen. Steht zum Beispiel A für die Aussage „Heute regnet es“, B für die Aussage „Ich habe meinen Regenschirm vergessen“ und C für die Aussage „Ich werde nass“, dann bedeutet (A ? B) w C: „Wenn es heute regnet und ich den Regenschirm vergessen habe, dann werde ich nass.“ Diese Aussage ist auf jeden Fall wahr, wenn C wahr ist. A B A w B w w w w f f f w w f f w Wahrheits- werttabelle der WENN-DANN- Verknüpfung GENAU- DANN-WENN- Verknüpfung Wahrheits- werttabelle der GENAU- DANN-WENN- Verknüpfung A B A É B w w w w f f f w f f f w Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv