Mathematik HTL 1, Schulbuch

63 1.6 Aussagen Der Wahrheitswert dieser UND-Verknüpfung ist so festgelegt, dass die Bedeutung von „und“ in der Mathematik der Bedeutung dieses Wortes in der Umgangssprache entspricht. „Heute regnet es und ich habe meinen Regenschirm vergessen“ ist dann wahr, wenn es sowohl heute regnet, als auch ich meinen Regenschirm vergessen habe. Es gilt also: Wenn sowohl A als auch B wahr sind, dann ist auch A ? B wahr. Wenn aber eine von den zwei Aussagen A, B oder alle zwei falsch sind, dann ist A ? B falsch. Wir stellen auch die Vereinbarung des Wahrheitswertes von A ? B übersichtlich in einer Wahr- heitswerttabelle dar. Wir tragen in den ersten zwei Spalten alle möglichen Kombinationen für die Wahrheitswerte von A und B ein. In der dritten Spalte steht dann der entsprechende Wahrheits- wert von A ? B. Zum Beispiel lesen wir die vorletzte Zeile dieser Tabelle so: Wenn A falsch ist und B wahr ist, dann ist A ? B falsch. Wenn A und B Aussagen sind, dann ist auch A = B (sprich: „A oder B“) eine Aussage. Man nennt eine solche Verknüpfung ODER-Verknüpfung oder Disjunktion . Achtung Im Deutschen hat das Wort „oder“ zwei Bedeutungen: Wer fragt „Soll ich bar bezahlen oder mit der Bankomatkarte?“, meint, dass er entweder bar oder mit Bankomatkarte, aber nicht auf beide Arten bezahlt. Wenn dagegen in einem Gesetzestext steht „Strafbar macht sich der, der Banknoten fälscht oder gefälschte Banknoten in Umlauf bringt […]“, dann macht sich jemand strafbar, der Banknoten fälscht, der gefälschte Banknoten in Umlauf bringt, aber auch jemand, der Banknoten fälscht und gefälschte Banknoten in Umlauf bringt. In der Mathematik verwenden wir das Wort „oder“ immer im Sinn von „und/oder“ und nicht im Sinn von „entweder/oder“. Also vereinbaren wir: Nur wenn sowohl A als auch B falsch sind, dann ist auch A = B falsch. Wenn aber eine von den zwei Aussagen A, B oder alle zwei wahr sind, dann ist A = B wahr. Aus der dritten Zeile dieser Wahrheitswerttabelle lesen wir zum Beispiel ab: Wenn A falsch ist und B wahr ist, dann ist A = B wahr. Wenn A und B Aussagen sind, dann ist auch A w B (sprich: „wenn A dann B“) eine Aussage. Man nennt eine solche Verknüpfung WENN-DANN-Verknüpfung oder Implikation . Für diese WENN-DANN-Verknüpfung vereinbaren wir: Nur wenn A wahr und B falsch ist, dann ist A w B falsch. Wenn aber A falsch oder B wahr ist, dann ist A w B wahr. Wahrheits- werttabelle der UND- Verknüpfung A B A ? B w w w w f f f w f f f f ODER- Verknüpfung Wahrheits- werttabelle der ODER- Verknüpfung A B A = B w w w w f w f w w f f f WENN-DANN- Verknüpfung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv