Mathematik HTL 1, Schulbuch

58 Zahlen Wir überlegen uns das zunächst an einem Beispiel: 275 Berechne die Dualzahl, welche die Bruchzahl 2 _ 7 auf 8 Stellen genau annähert. Wir stellen zunächst alle Zahlen durch Dezimalziffern dar, weil uns die Division mit Rest so leichter fällt (für einen Computer ist das anders!). Wir multiplizieren den Zähler mit 2 8 = 256 und erhalten 2·2 8 = 512. Diese Zahl dividieren wir mit Rest durch den Nenner, also durch 7. Wir erhalten 512 = 73·7 + 1. Also ist 2 _ 7 = 2·2 8 _ 7·2 8 = 73·7 + 1 __ 7·2 8 = 73 _ 2 8 + 1 _ 7 ·2 ‒8 . Das bedeutet: 2 _ 7 wird durch die Dualzahl 73 _ 2 8 auf 8 Stellen genau angenähert. Nun stellen wir 73 durch Binärziffern dar (und dividieren dazu mehrfach mit Rest durch 2) 73 10 = 1001001 2 . Daher ist die Dualzahl, die 2 _ 7 auf 8 Stellen genau annähert, gleich 0,01001001. Es ist 2 2 _ 7 3 10 = 2 10 _ 111 3 2 . Der Fehler, den wir machen, wenn wir mit der Dualzahl 0,01001001 anstatt mit 10 _ 111 (zwei Siebtel!) rechnen, ist kleiner als 2 ‒8 . Wir beweisen nun für alle rationalen Zahlen a _ b , dass m _ 2 p wie oben die rationale Zahl a _ b auf p Stellen nach dem Komma (der Darstellung durch Binärziffern) genau annähert. Wir bezeichnen mit m den ganzzahligen Quotienten und mit r den Rest von a·2 p nach Division mit Rest durch b. Dann ist a·2 p = m·b + r und 0 ª r < b. Daraus folgt a _ b = a·2 p _ b·2 p = m·b + r __ b·2 p = m·b _ b·2 p + r _ b·2 p = m _ 2 p + r _ b ·2 ‒p und wegen r _ b < 1 auch a _ b – m _ 2 p < r _ b ·2 ‒p < 2 ‒p . 276 Berechne die Dualzahl, die die Bruchzahl 1 _ 1010 (ein Zehntel) auf 8 (Binär-)Stellen genau annähert. Division mit Rest von 100000000 2 durch 1010 2 ergibt: 100000000 2 = 11001 2 ·1010 2 + 110 2 , also ist 1 _ 1010 2 durch 11001 2 __ 100000000 2 = 0,00011001 auf 8 Stellen genau angenähert. Der Fehler, den wir machen, wenn wir mit 0,00011001 anstatt mit ein Zehntel rechnen, ist kleiner als eins durch zweihundertsechsundfünfzig. Analog zu Dezimalzahlen kann man auch Dualzahlen in Exponentialform durch Mantisse und Exponent darstellen. Wenn vereinbart ist, alle natürlichen Zahlen durch ihre Binärziffern darzustellen, dann schreibt man zum Beispiel 1,0101101E101 als Exponentialform für die Dualzahl 101011,01. Der Exponent dieser Zahl ist 101 (also fünf), die Mantisse 1,0101101 (also, mit Dezimalziffern geschrieben: 1 + 1 _ 2 2 + 1 _ 2 4 + 1 _ 2 5 + 1 _ 2 7 ). Am Computer kann eine Zahl durch die Ziffern des Exponenten und der Mantisse zur Basis 2 dargestellt werden. Die Anzahl dieser Ziffern ist durch eine vorgegebene Zahl beschränkt. Die so am Computer verfügbaren Zahlen heißen Maschinenzahlen. Es gibt nur endlich viele Maschinenzahlen. Alle Maschinenzahlen sind rationale Zahlen. Beim Rechnen mit so dargestellten Zahlen gibt es im Allgemeinen keine exakten Ergebnisse, sondern Rundungsfehler. B eine rationale Zahl durch eine Dualzahl annähern B eine rationale Zahl durch eine Dualzahl annähern Maschinen- zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv