Mathematik HTL 1, Schulbuch

57 1.5 Zifferndarstellung von Zahlen und Rechnen mit Näherungen Darstellung rationaler Zahlen durch Binärziffern Natürliche Zahlen können wir nicht nur durch Dezimalziffern sondern auch durch Binärziffern darstellen. Zum Beispiel schreiben wir kurz 111101 2 für 1·2 5 + 1·2 4 + 1·2 3 + 1·2 2 + 0·2 1 + 1·2 0 . Auch diese Kurzschreibweise können wir auf rationale Zahlen erweitern: Zum Beispiel bedeutet 111,101 2 mit Dezimalziffern geschrieben 1·2 2 + 1·2 1 + 1·2 0 + 1·2 ‒1 + 0·2 ‒2 + 1·2 ‒3 = 1·4 + 1·2 + 1 + 1 _ 2 + 0 _ 4 + 1 _ 8 = 61 _ 8 . Schreiben wir auch die Zahlen 2 2 , 2 1 , … , 2 –3 mit Binärziffern an, dann ist 111,101 2 = 111101 _ 1000 = 1·100 + 1·10 + 1 + 1 _ 10 + 0 _ 100 + 1 _ 1000 . (1000 steht hier für acht und nicht für tausend!) Allgemein vereinbaren wir: Sind n und p natürliche Zahlen und z n , z n – 1 , … , z 0 , z ‒1 , z ‒2 , … , z ‒p natürliche Zahlen, die kleiner als 2 sind, so bezeichnen wir mit z n z n – 1 … z 0 , z ‒1 z ‒2 … z ‒p die rationale Zahl z n z n – 1 … z 0 z ‒1 z ‒2 … z ‒p ____ 2 p = z n ·2 n + z n – 1 ·2 n – 1 + … + z 0 ·2 0 + z ‒1 ·2 ‒1 + z ‒2 ·2 ‒2 + … + z ‒p ·2 ‒p . Die Zahlen z n , z n – 1 , … , z 0 , z ‒1 , z ‒2 , … , z ‒p heißen dann Binärziffern dieser rationalen Zahl. Durch Binärziffern und das Vorzeichen + oder ‒ kann man jene rationalen Zahlen darstellen, deren Nenner eine Potenz von 2 sein kann. Solche rationale Zahlen nennen wir Dualzahlen . Wenn kein Vorzeichen angegeben ist, ist das Vorzeichen + gemeint. Das Komma steht immer zwischen den Ziffern z 0 und z ‒1 . Beispiele: Alle natürlichen Zahlen (auch die Exponenten!) und rationalen Zahlen sind bei den folgenden Beispielen durch Binärziffern dargestellt.  11 _ 100 = 0,11 = +0,11 (Diese Zahl ist ein Halb plus ein Viertel, also drei Viertel.)  11 _ 1000 = 0,011 (Diese Zahl ist ein Viertel plus ein Achtel, also drei Achtel.) ‒  11 _ 1000 = ‒ 0,011 (Diese Zahl ist minus drei Achtel.)  11 _ 10 100 = 0,0011 (Diese Zahl ist ein Achtel plus ein Sechzehntel, also drei Sechzehntel.)  1111 _ 100 = 11,11 (Diese Zahl ist Drei plus drei Viertel.) ‒  101 _ 10 = ‒10,1 (Diese Zahl ist minus Zwei minus ein Halb.) Wenn wir Dualzahlen addieren, subtrahieren oder multiplizieren, erhalten wir wieder Dualzahlen. Der Quotient von Dualzahlen ist aber nicht immer eine Dualzahl. Zum Beispiel sind 1 _ 11 , 1 _ 101 oder 1 _ 1010 (durch Dezimalziffern dargestellt: 1 _ 3 , 1 _ 5 oder 1 _ 10 ) keine Dualzahlen, weil die Nenner dieser Zahlen nicht Potenzen von 2 sein können. Jede rationale Zahl kann aber, ebenso wie durch eine Dezimalzahl, beliebig genau durch eine Dualzahl „angenähert“ werden, genauer gesagt heißt das: Für jede positive rationale Zahl a _ b und jede natürliche Zahl p gibt es genau eine natürliche Zahl z so, dass die Dualzahl a _ b º z _ 2 p und a _ b – z _ 2 p < 1 _ 2 p ist. Wir sagen: „Die Dualzahl z _ 2 p nähert die Bruchzahl a _ b auf p Stellen (nach dem Komma) genau an.“ Diese Zahl z erhält man als ganzzahligen Quotienten von a·2 p nach Division mit Rest durch b. Binärziffern rationaler Zahlen Dualzahlen Annähern einer rationalen Zahl durch eine Dualzahl Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv