Mathematik HTL 1, Schulbuch

56 Zahlen Rechnen mit (bekannten) Messfehlern Oft müssen wir mit Zahlen rechnen, von denen wir wissen, dass sie nicht exakt sind. Zum Beispiel wenn zur Berechnung eines Kreisumfanges der Radius mit 3,4 cm gemessen wird. Infolge der Messungenauigkeit wissen wir damit aber nur, dass der Radius „irgendwo“ zwischen 3,35 cm und 3,45 cm liegt. Wir schreiben dafür r = 3,4 cm ± 0,05 cm. Wenn wir eine Zahl a durch Messung ermitteln wollen oder gerundet angeben, dann kennen wir nicht a selbst sondern nur einen Näherungswert a N von a. Die Zahlen † a N – a † und † a N – a † _ † a † heißen dann absoluter Fehler und relativer Fehler . Wenn bekannt ist, wie groß der absolute Fehler maximal sein kann, dann schreiben wir dafür ∆a (sprich: „delta a“) und a = a N ± ∆a. Da die Zahl, die man durch Messung bestimmen möchte, unbekannt ist, sind absoluter und relativer Fehler meist Erfahrungs- oder Schätzwerte. Wenn mit Zahlen gerechnet wird, deren absolute Fehler bekannt sind, dann sollte auch der absolute Fehler des Ergebnisses angegeben werden. 269 Der Radius r eines Kreises liegt zwischen 3,35 cm und 3,45 cm, also r = 3,4 cm ± 0,05 cm. Wir runden π auf 3,1, also π = 3,1 cm ± 0,05 cm. Berechne den kleinst- und größtmöglichen Kreis- umfang sowie den absoluten und relativen Fehler. u min = 2·3,35·3,05 cm = 20,435 cm u max = 2·3,45·3,15 cm = 21,735 cm Die Zahl in der Mitte zwischen 20,435 und 21,735 ist 20,435 + 21,735 __ 2 = 21,085, wir runden sie auf 21,1. Der Umfang liegt zwischen u min und u max , also schreiben wir: u = 21,1 cm ± 0,7cm. Der absolute Fehler beträgt hier also 0,7, der relative Fehler ist ungefähr 0,7 : 21,1 ≈ 0,03. Bei Rechenverfahren muss daher darauf geachtet werden, dass sich die Fehler nicht stark fortpflanzen. Fehlerabschätzungen sind erforderlich. Zum Bespiel ist 1 __ 10,4 – 9,9 = 1 _ 0,5 = 2. Wenn wir 10,4 vor dieser Division auf 10,0 runden, dann erhalten wir den Quotienten 1 _ 10 – 9,9 = 10. Der kleine Rundungsfehler 0,4 führt dazu, dass der Quotient nach Rundung das 5-Fache des gesuchten Quotienten ist! Hätten wir auch 9,9 auf 10,0 gerundet, wäre die Division gar nicht mehr ausführbar gewesen. 270 Bei der Vermessung eines rechteckigen Grundstückes wird auf 10 cm genau gemessen. Die Länge beträgt 25,2m und die Breite 15,6m. a. Bestimme den relativen und den absoluten Fehler bei der Berechnung des Umfanges. b. Bestimme den relativen und den absoluten Fehler bei der Berechnung der Fläche des Grundstücks. 271 Auf einer Limonadenflasche mit 500m ® Inhalt ist vermerkt, dass die Füllmenge produktions- bedingt um 7,5m ® schwanken kann. Bestimme den relativen und den absoluten Fehler. 272 Mit einer Druckpatrone können 750 Seiten ± 35 Seiten gedruckt werden. Berechne den absoluten und den relativen Fehler der Kosten pro Seite, wenn die Druckpatrone 24,90€ kostet. 273 Ein zur Durchführung von Länderspielen geeignetes Fußballfeld muss zwischen 100m und 110m lang und zwischen 64m und 70m breit sein. Wie groß ist die relative Abweichung der Fläche eines Fußballfeldes höchstens? 274 Eine Waage am Wochenmarkt hat einen Messfehler von ±1 dag. Frau Maier kauft 1,5 kg Spinat um 2,30€/kg und 2 kg Erdäpfel um 0,90€/kg. Wie groß ist a. der absolute Fehler und b. der relative Fehler bei der Berechnung des Gesamtpreises? Näherungswert absoluter und relativer Fehler B absoluten und relativen Fehler bestimmen A, B A, B A, B A, B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv