Mathematik HTL 1, Schulbuch

54 Zahlen Der Rundungsfehler, das ist der Betrag der Differenz zwischen 45485,467 und der auf Tausender bzw. Hunderter bzw. Zehner bzw. Einer bzw. Zehntel bzw. Hundertstel gerundeten Zahl ist höchstens 5·10 2 bzw. 5·10 1 bzw. 5 bzw. 5·10 ‒1 bzw. 5·10 ‒2 bzw. 5·10 ‒3 . Wenn wir anstatt der Zahl 45485,467 die Zahl 45000 bzw. 45400 bzw. 45480 bzw. 45485 bzw. 45485,4 bzw. 45485,46 anschreiben, haben wir nach der Tausender- bzw. Hunderter- bzw. Zehner- bzw. Einer- bzw. Zehntel- bzw. Hundertstelstelle abgeschnitten. Der Betrag der Differenz zwischen 45485,467 und der nach der Tausender- bzw. Hunderter- bzw. Zehner- bzw. Einer- bzw. Zehntel- bzw. Hundertstelstelle abgeschnittenen Zahl ist kleiner als 10 3 bzw. 10 2 bzw. 10 bzw. 1 bzw. 10 ‒1 bzw. 10 ‒2 . Für das Runden einer Dezimalzahl auf eine bestimmte Stelle ist die Ziffer an der nächstkleineren Stelle entscheidend: Ist die Ziffer an dieser Stelle 0, 1, 2, 3 oder 4, so runden wir ab. Dies bedeutet, dass die Ziffer an der zu rundenden Stelle belassen wird, die Ziffern rechts von der zu rundenden Stelle werden durch 0 ersetzt und weggelassen. Ist die Ziffer an dieser Stelle 5, 6, 7, 8 oder 9, so runden wir auf. Dies bedeutet, dass zur Ziffer an der zu rundenden Stelle 1 addiert wird, die Ziffern rechts von der zu rundenden Stelle werden durch 0 ersetzt und weggelassen. Beim Abschneiden einer Dezimalzahl nach einer Stelle ersetzen wir alle Ziffern rechts von dieser Stelle durch 0. Wie aber sollen wir runden, wenn wir durch eine Überschlagsrechnung nur eine Näherung des exakten Ergebnisses berechnen wollen? Die Näherung soll einerseits leicht zu berechnen sein und andererseits die „Größenordnung“ des Ergebnisses gut wiedergeben. Je größer der Fehler beim Runden ist, desto leichter wird die Rechnung, aber zugleich auch das Ergebnis ungenauer. Es gibt keine festen Regeln für eine Überschlagsrechnung. Wie stark man rundet, hängt von der jeweiligen Situation ab. 256 Mit einem Geodreieck können Längen auf einen Millimeter genau gemessen werden. Wie groß ist der Umfang eines Kreises, dessen Radius mit 3,4 cm gemessen wird? Der Umfang eines Kreises mit Radius r ist u = 2r π . Wenn wir für r die gemessene Zahl 3,4 nehmen und π auf 3,14 runden, dann erhalten wir 21,352 cm für u. Runden wir π auf 3,1415927, dann erhalten wir 21,36283036 cm. Der zweite angegebene Näherungswert ist genauer. Aber überlegen wir: Der gemessene Radius ist auf Millimeter genau bestimmt. Das „genauere“ Ergebnis für den Umfang gibt hingegen noch Zehntel Pikometer an! Das passt doch nicht zusam- men! Sinnvoll ist daher die erste Rechnung: Der Umfang beträgt ungefähr 21,4 cm. Achtung Beim Rechnen mit gerundeten Zahlen muss immer im Voraus festgelegt werden, wie viele Ziffern nach dem Komma sinnvoll sind. Wenn wir uns nur für die Größenordnung des Ergebnisses interessieren, können wir sämtliche Zahlen der Rechnung in normalisierter Gleitkommadarstellung anschreiben und auf Einer runden. Beispiele:  34,28 : 48,17 = 3,428E1 : 4,817E1 ≈ 3E1 : 5E1 = 30:50 = 0,6      1,345E5·1,897E2 ≈ 1E5·2E2 = 2E7      948,23 – 3,54 ≈ 948 – 4 = 944 abschneiden Regeln für das Runden bzw. Abschneiden einer Dezimalzahl A sinnvolles Runden Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv