Mathematik HTL 1, Schulbuch

53 1.5 Zifferndarstellung von Zahlen und Rechnen mit Näherungen Wir beweisen nun für alle rationalen Zahlen a _ b , dass z _ 10 p wie oben die rationale Zahl a _ b auf p Stellen nach dem Komma genau annähert: Wir bezeichnen mit m den ganzzahligen Quotienten und mit r den Rest von a·10 p nach Division mit Rest durch b. Dann ist a·10 p = m·b + r und 0 ª r < b. Daraus folgt a _ b = a·10 p _ b·10 p = m·b + r __ b·10 p = m·b _ b·10 p + r _ b·10 p = m _ 10 p + r _ b ·10 ‒p und wegen r _ b < 1 auch a _ b – m _ 10 p = r _ b ·10 ‒p < 10 ‒p . 250 Berechne die Dezimalzahl, die kleiner als die Bruchzahl ist und sie auf die angegebene Anzahl von Stellen genau annähert. Gib auch den Fehler an. a. 1 _ 2 (2 Stellen) c. 1 _ 4 (3 Stellen) e. 1 _ 6 (4 Stellen) b. 1 _ 3 (4 Stellen) d. 1 _ 5 (3 Stellen) f. 1 _ 7 (2 Stellen) 251 Berechne die Dezimalzahl, die kleiner als die Bruchzahl ist und sie auf 4 Stellen genau annähert. Gib auch den Fehler an. a. 34 _ 456 b. 87 _ 987 c. 17 _ 1234 252 Berechne die Dezimalzahl, die kleiner als die Bruchzahl ist und sie auf 5 Stellen genau annähert. Gib auch den Fehler an. a. 34 _ 456789 b. 87 _ 98765 c. 17 ___ 123456789987654321 253 Berechne die Dezimalzahl, die kleiner als die Bruchzahl ist und sie auf 3 Stellen genau annähert. Gib auch den Fehler an. a. 1 _ 3 + 1 _ 5 b. 1 _ 3 – 1 _ 7 c. 1 _ 6 – 1 _ 7 254 Berechne die Dezimalzahl, die kleiner als die Bruchzahl ist und sie auf 3 Stellen genau annähert. Gib auch den Fehler an. a. 1 _ 7 · 1 _ 3 b. 2 1 _ 6 – 1 _ 7 3 · 1 _ 3 c. 2 _ 3 · 2 7 _ 4 – 5 _ 3 3 255 Berechne die Dezimalzahl, die kleiner als die Bruchzahl ist und sie auf 3 Stellen genau annähert. a. 23 2 _ 5 3 b. 17 2 + 5 3 _ 6 c. 19 2 – 16 2 __ 35 Abschätzen von Ergebnissen – Überschlagsrechnung Bei einer Überschlagsrechnung berechnen wir nicht ein exaktes Ergebnis, sondern nur eine Näherung davon. Dazu werden die gegebenen Zahlen und eventuell auch Zwischenergebnisse gerundet (oder seltener abgeschnitten). Wenn wir anstatt der Zahl 45485,467 die Zahl 45000 bzw. 45500 bzw. 45490 bzw. 45485 bzw. 45485,5 bzw. 45485,47 anschreiben, haben wir auf die Tausender- bzw. Hunderter- bzw. Zehner- bzw. Einer- bzw. Zehntel- bzw. Hundertstelstelle gerundet . Wir schreiben dann 45485,467 ≈ 45000 bzw. 45485,467 ≈ 45500 bzw. 45485,467 ≈ 45485,47. B B B B B B runden ur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv