Mathematik HTL 1, Schulbuch

52 1.5 Zifferndarstellung von Zahlen und Rechnen mit Näherungen Ich lerne das Annähern einer rationalen Zahl durch eine Dezimalzahl zu erklären. Ich lerne Rechenergebnisse durch Überschlagsrechnung näherungsweise zu bestimmen. Ich lerne Berechnungen mit fehlerbehafteten Zahlen durchzuführen. Ich lerne die Darstellung einer rationalen Zahl durch Dezimalziffern und Binärziffern ineinander überzuführen. Ich lerne das Annähern einer rationalen Zahl durch eine Dualzahl anhand eines Beispiels zu erklären. In Abschnitt 1.2 haben wir rationale Zahlen, die eine Potenz von 10 als Nenner haben können, Dezimalzahlen genannt. Zum Beispiel sind 3 _ 100 = 0,03, 2 _ 5 = 4 _ 10 = 0,4, 7 _ 8 = 7·125 _ 8·125 = 875 _ 1000 = 0,875, 1 _ 25 = 4 _ 100 = 0,04 und alle ganzen Zahlen Dezimalzahlen. Wenn wir Dezimalzahlen addieren, subtrahieren oder multiplizieren, erhalten wir wieder Dezimalzahlen. Der Quotient von Dezimalzahlen ist aber nicht immer eine Dezimalzahl. Zum Beispiel sind die rationalen Zahlen 1 _ 3 , 11 _ 6 oder 4 _ 7 keine Dezimalzahlen. Das erkennen wir daran, dass wir diese Bruchzahlen nicht so erweitern können, dass die Nenner Zehnerpotenzen werden. Annähern von rationalen Zahlen durch Dezimalzahlen Jede rationale Zahl kann aber beliebig genau durch eine Dezimalzahl „angenähert“ werden, genauer gesagt heißt das: Für jede positive rationale Zahl a _ b und jede natürliche Zahl p gibt es genau eine natürliche Zahl z so, dass die Dezimalzahl a _ b º z _ 10 p und a _ b – z _ 10 p < 1 _ 10 p ist. Wir sagen: „Die Dezimalzahl z _ 10 p nähert die Bruchzahl a _ b auf p Stellen (nach dem Komma) genau an“. Diese Zahl z erhält man als ganzzahligen Quotienten von a·10 p nach Division mit Rest durch b. Wir überlegen uns das zunächst an einem Beispiel. 249 Berechne die Dezimalzahl, welche die Bruchzahl 2 _ 7 bis auf 2 Stellen genau annähert, und gib den Fehler an. Wir multiplizieren den Zähler mit 10 2 und erhalten 2·10 2 = 200. Diese Zahl dividieren wir mit Rest durch den Nenner, also durch 7. Wir erhalten 200 = 28·7 + 4. Also ist 2 _ 7 = 200 _ 7·100 = 28·7 + 4 __ 7·100 = 28 _ 100 + 2 4 _ 7 · 1 _ 100 3 . Das bedeutet: 2 _ 7 wird durch die Dezimalzahl 28 _ 10 2 = 0,28 auf 2 Stellen genau angenähert. Der Fehler, den wir machen, wenn wir mit 0,28 anstatt mit 2 _ 7 rechnen, ist kleiner als 1 _ 100 = 10 ‒2 , nämlich 4 _ 7 ·10 ‒2 . Annähern rationaler Zahlen durch Dezimalzahlen B Annähern einer rationalen Zahl durch eine Dezimalzahl Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv