Mathematik HTL 1, Schulbuch

50 Zahlen 233 Finde rationale Zahlen a, b, c so, dass die Behauptung richtig ist. a. 2 3 9 __ 12 – 3 3 2 = a + b 3 9 __ 12 + c 2 3 9 __ 12 3 2 b. 2 3 9 _ 4 + 1 _ 2 3 2 = a + b 3 9 _ 4 + c 2 3 9 _ 4 3 2 c. 2 2 3 9 _ 5 – 3 3 2 3 9 _ 5 – 2 _ 3 3 = a + b 3 9 _ 5 + c 2 3 9 _ 5 3 2 234 Finde eine möglichst kleine positive rationale Zahl a und eine rationale Zahl b so, dass die Behauptung richtig ist. a. 4 9 _____ 6 2 ·7 5 ·9 3 = b 4 9 _ a b. 2 3 9 ______ 6 4 · 2 5 _ 3 3 4 · 2 3 _ 4 3 5 = b 3 9 _ a 235 Finde eine positive rationale Zahl c so, dass die Behauptung richtig ist. Kürze soweit wie möglich. a. 7 _ 3 · 4 9 __ 45 _ 98 = 4 9 _ c b. 5 _ 2 · 3 9 _ 4 _ 7 = 3 9 _ c 236 Berechne mit dem Taschenrechner und potenziere zur Probe das Ergebnis. a. 6 9 ____ 178,34 b. 3 9 _ 7 c. 5 9 ____ 0,0079 d. 4 9 _______ 0,0000000001 237 Ziehe teilweise die Wurzel. a. 9 __ 5 3 b. 9 __ 7 5 c. 3 9 __ 2 4 d. 5 9 __ 3 14 e. 5 9 __ 2 9 f. 3 9 __ 2 8 Potenzen mit rationalen Exponenten Beim Rechnen mit Potenzen haben wir die Rechenregel „Für ganze Zahlen n, m und reelle Zahlen a ist a n ·a m = a n + m “ kennengelernt. Wie müssten wir zum Beispiel a 1 _ 2 definieren, damit a 1 _ 2 ·a 1 _ 2 = a 1 _ 2 + 1 _ 2 = a 1 = a ist? Dann ist das Quadrat der Zahl a 1 _ 2 gleich a, also muss a 1 _ 2 = 9 _ a sein. Das legt nahe, die folgende Schreibweise zu definieren: Für positive ganze Zahlen m, n ist: a m _ n = n 9 __ a m a ‒ m _ n = n 9 ___ 2 1 _ a 3 m Wir können dann Wurzeln als Potenzen auffassen, deren Exponenten rationale Zahlen sind. Solche Potenzen nennen wir rationale Potenzen . Wir können damit die Rechenregeln für Potenzen und für Wurzeln einheitlich anschreiben: Für zwei positive reelle Zahlen a und b und rationale Zahlen m _ n und p _ q gilt: a m _ n ·a p _ q = a m _ n + p _ q Rationale Potenzen gleicher Basis werden multipliziert, indem die Exponenten addiert werden. a m _ n _ a p _ q = a m _ n – p _ q Rationale Potenzen gleicher Basis werden dividiert, indem die Exponenten subtrahiert werden. a 0 = 1 a ‒ m _ n = 1 _ a m _ n 2 a m _ n 3 p _ q = a m _ n · p _ q Potenzen werden potenziert, indem die Exponenten multipliziert werden. (a·b) m _ n = a m _ n ·b m _ n Die Potenz eines Produktes ist gleich dem Produkt der Potenzen. 2 a _ b 3 m _ n = a m _ n _ b m _ n Die Potenz eines Quotienten ist gleich dem Quotienten der Potenzen. B B B B B rationale Potenzen Rechenregeln für Potenzen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv