Mathematik HTL 1, Schulbuch

5 Ein Blick ins Buch Multiple-Choice-Aufgaben und zahlreiche Aufgaben in den neuen Formaten bereiten auf die Zentralmatura vor. Für Aufgaben, die mit dem Symbol gekennzeichnet sind, ist ein Technologieeinsatz empfehlenswert. Aufgaben mit dem Symbol eignen sich besonders gut für Partner- oder Gruppenarbeiten . Am Ende jedes Abschnitts können in „ Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt? “ die Kompetenzen mit Selbst- kontrollaufgaben überprüft werden. Die Lösungen zu diesen Aufgaben befinden sich im Buch auf den Seiten 300 – 311. Die Handlungskompetenzen der Bildungsstandards sind jeder Aufgabe vorangestellt. Die Standardmatrix ist auf der letzten Seite des Buches abgebildet. Am Ende jedes Kapitels gibt eine Zusammenfassung einen Überblick über die wichtigsten Aussagen des Kapitels. Mit zusammenfassenden Aufgaben können im Anschluss die Inhalte des gesamten Kapitels noch einmal losgelöst von den Theorieabschnitten gefestigt werden. 78 LineareGleichungenundUngleichungenmit einerUnbekannten 352 :HOFKHGHU*OHLFKXQJHQVLQG]XUJHJHEHQHQ*OHLFKXQJÆTXLYDOHQW"%HJUÞQGH a. [x _ [ A [x [ ™ C [ [ ™ __ E ‒6x+30 = ‒4x – 12 B [x [ ™ D [ F [ [x _ b. 2 W _ 3 x W x W A 2 W _ 3 x W C W _ W E W _ W B 2 W _ 3 W D W W F ‒t =2 c. x Xx x X A 6(1 –u) = ‒14 –2u C ‒6u+6 = ‒28 –2u E X B Xx X D u = ‒5 F X d. \x _ \ x\ A \x _ x \ C \x E \ x \x _ B \x _ \ D \x x \ F \ 353 'DV9HUWDXVFKHQGHUEHLGHQ6HLWHQHLQHU*OHLFKXQJOÆVVWVLFKGXUFKGLHDQGHUHQ¦TXLYDOHQ] XPIRUPXQJHQ VFKULWWZHLVH GXUFKIÞKUHQ =HLJHGLHVDP%HLVSLHOGHUIROJHQGHQ*OHLFKXQJHQ a. E c. [ _ [x e. x Dx ™ D b. Xx xX d. x _ \x \ f. W _ Wx x W 354 /ØVHGLH*OHLFKXQJXQGPDFKGLH3UREH a. D f. ] k. \x \ b. ] g. Xx X l. [x [x [ [x c. N h. _ Yx _ Y m. [x [x [x x [ d. [ i. [ n. [ _ x [x __ e. Wx j. [x [x o. [ _ x x[ _ 355 /ØVHGLH*OHLFKXQJPLWKLOIHHLQHV&$6 a. π ™[ _ c. _ N _ e. ™ 2 [x _ 3 _ b. ]x _ π _ d. Wx _ W f. _ ™ ]x 2 _ ] 3 ™ 356 /ØVHGLH*OHLFKXQJPLWKLOIHHLQHV&$6 a. Nx N Nx ™ b. Wx __ x W __ c. [ ___ [x ___ x [ ___ 357 /ØVHGLH*OHLFKXQJLP.RSI 5XQGH ZHQQQØWLJ a. [x c. Kx e. Kx b. Kx d. Kx ™ f. Kx 358 ¾EHUOHJHGLUVHOEVW=DKOHQUDWHVSLHOHZLHLQ$XIJDEH 'DEHLVROOVWGXQLFKWQXUQDWÞUOLFKH RGHUJDQ]H=DKOHQ VRQGHUQDXFKDQGHUHUDWLRQDOHXQGUHHOOH=DKOHQfHLQEDXHQu 7DXVFKHGLHVHVHOEVWJHIXQGHQH$XIJDEHGDQQPLWGHLQHU6LW]QDFKEDULQ GHLQHP6LW]QDFKEDUQ DXV :HUHUILQGHWGLHfVFKZLHULJHUHu$XIJDEH":HUOØVWGLHJHVWHOOWH$XIJDEHVFKQHOOHU XQG WURW]GHPULFKWLJ" ' ' % % % % $ 104 Zusammenfassung Eine lineareGleichungmit einerUnbekannten isteineAufgabederArt „Finde eineZahl z so,dass3z+5 = 11 ist“. DenÜbergang von einerGleichung zu einerGleichung,diedieselbe Lösunghat,nennenwir Äquivalenzumformung . Äquivalenzumformungen vonGleichungen: DiebeidenSeiten einerGleichungdürfen vertauschtwerden.  ZubeidenSeiten einerGleichungdarfdieselbeZahladdiertwerden.  VonbeidenSeiten einerGleichungdarfdieselbeZahl subtrahiertwerden.  BeideSeiten einerGleichungdürfenmitderselbenZahlungleich 0multipliziertwerden.  BeideSeiten einerGleichungdürfendurchdieselbeZahlungleich 0dividiertwerden.  BeimÜbersetzen einesTextes in eine lineareGleichungmit einerUnbekanntengehenwir so vor: Zuerst stellenwir fest,wasgesuchtwird.Oft istdas einebestimmteZahl. 1. DieserZahlgebenwir einenNamen, zumBeispiel z. 2. Wir suchen imTextalleBedingungen,die für zgelten,und schreibendiesemöglichst kurz 3. undübersichtlichan. Wennwir so eineGleichungmit einerUnbekannten erhalten,könnenwir sie lösenund überlegen,obdasRechenergebnis sinnvoll ist. Eine lineareUngleichungmit einerUnbekannten ist eineAufgabederArt „FindedieMengealler Zahlen z, fürdie3z+5< 11 ist“,wobeianstelledesUngleichheitszeichens< („kleiner“) auch ª („kleinergleich“),> („größer“)oder º („größergleich“) stehen kann. Äquivalenzumformungen vonUngleichungen: AufbeidenSeitendesUngleichheitszeichensdarfdieselbeZahladdiertoder subtrahiert  werden. AufbeidenSeitendesUngleichheitszeichensdarfmitderselbenpositivenZahlmultipliziert  oderdurchdieselbepositiveZahldividiertwerden. AufbeidenSeitendesUngleichheitszeichensdarfmitderselbennegativenZahlmultipliziert  oderdurchdieselbenegativeZahldividiertwerden,wenngleichzeitigdasUngleichheits- zeichen „umgedreht“wird. Die Lösungsmenge einer linearenUngleichungmit einerUnbekannten ist eineHalbgerade,die leereMengeoderdieMengealler reellenZahlen. lineare Gleichung Äquivalenz- umformungen Textaufgaben lineare Ungleichung 75 2.1 Modellieren einfacherAufgabendurch lineareGleichungenmit einerUnbekannten 344 FormulieredenTextnachdem folgendenMusterum: „Finde eineZahl,derenDreifachesum 4 vermehrtgleich37 ist“heißt „LösedieGleichung3a+ 4 =37“. a. Vermehrtman eineZahlum einZehntel von ihr, so erhältman 120.WelcheZahl istdas? b. Vermindertman eineZahlum einZehntel von ihr, so erhältman 120.FindedieseZahl. c. Wennman von einerZahldas 0,08-Fache subtrahiertunddanndas 0,12-Fachedieserneuen Zahladdiert,erhältman 150.BerechnedieseZahl. d. Multipliziertman eineZahlmit 1,05,dann istdasProduktgleichdem 1,03-Fachenderum 8größerenZahl.UmwelcheZahlhandelt es sich? 345 WelchederGleichungenbeschreibendieAufgabe korrekt?Begründe. a. VermindertmandasDoppelte einerZahlum 15, so erhältman 45.FindedieseZahl. A 2(z – 15) = 45 B 2z – 15 = 45 C (2z) – 15 = 45 D 2z+ 15 = 45 b. VermehrtmandasDoppelte einerZahlum2undmultipliziertdasErgebnismit3, so erhält man 18.BerechnedieseZahl. A 2x+2·3 = 18 B 2+2x = 18 _ 3 C (2x+2)·3 = 18 D (2x)+2·3 = 18 c. Dividiertmandasum3 vermehrteDoppelte einerZahldurch5, so istderQuotient5. FindedieseZahl. A (2x+3)·5 =5 B 2x+3 _ 5 =5 C 2x+3 =5·5 D 2x _ 5 +3 =5 d. Vermehrtmandieum5 kleinereZahlum einZehnteldavon,dann erhältmanwiederdie ursprünglicheZahl.VonwelcherZahl istdieRede? A z – 0,1z = z –5 B z = 1,1(z –5) C 0,9z = z –5 D z+ 0,1z = z –5 e. DasProduktdesum 1 vermindertenDreifachen einerZahlund 12 istgenausogroßwiedas Zehnfachederum 4 vermehrtenZahl.WelcheZahl istdas? A (x – 1)·3·12 = 10x+ 4 C 3x – 1 _ 12 = 10(x+ 4) B (3x)·12 – 1 = 10(x+ 4) D (3x – 1)·12 = 10(x+ 4) Washabe ich in diesemAbschnitt gelernt? IchkannAufgabendurch lineareGleichungenmit einerUnbekanntenbeschreiben. 346 BeschreibedieAufgabedurch eine lineareGleichungmit einerUnbekannten. a. VergrößertmaneineZahlum4,multipliziertdieseSummemit5und vermindertdasProdukt um 17, so erhältman 48.FindedieseZahl. b. Addiertman zumDoppelteneinerZahldas 1,4-FachederursprünglichenZahl, soerhält man 19,2.FindedieseZahl. Ichkannentscheiden,ob lineareGleichungenmiteinerUnbekanntenAufgaben richtigbeschreiben. 347 Entscheide,obdieangegebeneGleichungdiebeschriebeneAufgabe richtigbeschreibt undbegründedieEntscheidung. a. VermindertmaneineZahlum 17,verdreifachtdieDifferenzundaddiert zudiesemProdukt8, so erhältman 17.FindedieseZahl. LösedieGleichung z – 17·3+8 = 17. b. VermehrtmandasDoppelte einerZahlum 1 _ 10 derursprünglichenZahl,erhältman 42. ErmittledieseZahl. LösedieGleichung2z+ 1 _ 10 = 42. c. Addiertman zu einerZahldasDoppeltedieserZahl,dann istdieSummeum 12größerals dasDoppeltederursprünglichenZahl.WelcheZahl istdas? LösedieGleichung z+2z =2z+ 12. A A,D A A,D Handlungsdimension Inhaltsdimension Die charakteristischen mathematischen Tätigkeiten sind A Modellierenund Transferieren B Operierenund Technologieeinsatz C Interpretierenund Dokumentieren D Argumentierenund Kommunizieren 1 ZahlenundMaße … für eine Problemstellungmit ZahlenundMaßen eingeeignetes Modell findenund einenTransfer in andereBereiche durchführen. …mitZahlenund Maßenoperieren und situations- gerecht technische Hilfsmittel einset- zen. …ZahlenundMaße in ihremKontext interpretierenund meineÜberlegun- gendokumentieren. …mithilfe von ZahlenundMaßen argumentierenund kommunizieren. 2 Algebraund Geometrie … für eineProblem- stellungmithilfe derAlgebraund Geometrie eingeeig- netesModell finden und einenTransfer inandereBereiche durchführen. …mitalgebrai- schenundgeomet- rischenObjekten operierenund situationsgerecht technischeHilfsmit- tel einsetzen. …algebraischeund geometrischeObjek- te in ihremKontext interpretierenund meineÜberlegun- gendokumentieren. … inder Fach- sprachederAlgebra undGeometrie argumentierenund kommunizieren. 3 Funktionale Zusammenhänge … eingeeignetes Modell für einen funktionalenZusam- menhang finden und einenTransfer inandereBereiche durchführen. …mit funktionalen Zusammenhängen operierenund situationsgerecht technischeHilfsmit- tel einsetzen. … funktionale Zusammenhänge interpretierenund meineÜberlegun- gendokumentieren. … funktionale Zusammenhänge argumentierenund kommunizieren. 4 Analysis … für eineProblem- stellungmithilfeder Analysis eingeeig- netesModell finden undeinenTransfer inandereBereiche durchführen. …Operationen in derAnalysis durchführenund situationsgerecht technischeHilfsmit- tel einsetzen. …Zusammenhänge inderAnalysis interpretierenund meineÜberlegun- gendokumentieren. … inder Fach- sprachederAnalysis argumentierenund kommunizieren. 5 Stochastik … für eineProble - stellungmithilfeder Stochastik ein geeignetesModell findenundeinen Transfer inandere Bereichedurch- führen. …Operationen in derStochastik durchführenund situationsgerecht technischeHilfsmit- tel einsetzen. …Zusammenhänge inderStochastik interpretierenund meineÜberlegun- gendokumentieren. … inder Fach- sprachederSto- chastikargumentie- renund kommuni- zieren. * „DieStandardmatrix“derBildungsstandards fürberufsbildendehöhereSchulendesösterreichischen Bundesministeriums fürUnterricht,KunstundKultur Die Standardmatrix* ss Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv