Mathematik HTL 1, Schulbuch

49 1.4 Potenzen Höhere Wurzeln Wenn wir die Seitenlänge s Meter eines Würfels kennen, erhalten wir das Volumen des Würfels in Kubikmeter, indem wir s 3 berechnen. Wie bekommen wir die Zahl s, wenn wir umgekehrt das Volumen a in Kubikmeter kennen? Wir müssen dazu eine Zahl finden, deren dritte Potenz gleich a ist. Wenn a eine positive reelle Zahl ist, nennen wir eine positive reelle Zahl dritte Wurzel aus a oder Kubikwurzel , wenn ihre dritte Potenz gleich a ist. Allgemeiner nennen wir für eine positive ganze Zahl n und eine positive reelle Zahl a eine positive reelle Zahl b n-te Wurzel aus a, wenn a n = b ist. Man kann zeigen, dass es eine solche positive reelle Zahl immer gibt. Es gibt immer nur eine n-te Wurzel. Wir zeigen das am Beispiel n = 3. Wären x und y dritte Wurzeln aus a, dann wäre x 3 = a = y 3 , also 0 = x 3 – y 3 = (x – y)(x 2 + xy + y 2 ). Wenn ein Produkt von reellen Zahlen gleich 0 ist, muss einer der Faktoren gleich 0 sein. Da x und y positiv sind, ist x 2 + xy + y 2 nicht gleich 0, also muss x – y = 0 sein, das heißt x = y. Wir bezeichnen die (eindeutig bestimmte) n-te Wurzel aus a mit n 9 _ a. Dann ist 2 n 9 _ a 3 n = a . 230 Berechne die dritte Wurzel aus 27 und 1 _ 64 und die vierte Wurzel aus 256. 3 9 __ 27 = 3, weil 3 3 = 27 ist. 3 9 __ 1 _ 64 = 1 _ 4 , weil 2 1 _ 4 3 3 = 1 _ 64 ist. 4 9 __ 256 = 4, weil 4 4 = 256 ist. Die Rechenregeln, die wir für Quadratwurzeln kennengelernt haben, gelten auch für n-te Wurzeln: Für zwei positive reelle Zahlen a und b gilt: n 9 _ a· n 9 _ b = n 9 __ a·b Die n-te Wurzel eines Produktes ist das Produkt der n-ten Wurzeln. n 9 _ a _ n 9 _ b = n 9 _ a _ b Die Wurzel eines Quotienten ist der Quotient der Wurzeln. Inbesondere gilt also für a = 1 1 _ n 9 _ b = n 9 _ 1 _ b , in anderer Schreibweise: 2 n 9 _ b 3 ‒1 = n 9 __ b ‒1 . Wir dividieren eine natürliche Zahl p mit Rest durch n: p = m·n + r, wobei 0 ª r < n ist. Dann ist n 9 __ a p = n 9 ____ a mn + r = n 9 ____ (a m ) n a r = a m n 9 __ a r . Beispiel: 3 9 __ a 7 = a 2 · 3 9 _ a, weil 7 = 2·3 + 1 ist. Achtung Für positive Zahlen a und b ist wie bei Quadratwurzeln n 9 ___ a + b nicht dasselbe wie n 9 _ a + n 9 _ b. 231 Berechne die dritte Wurzel der Zahl. a. 125 b. 1 _ 27 c. 625 d. 27 _ 125 e. 1000 _ 64 232 Überprüfe die Behauptung ohne Taschenrechner. a. 2 3 9 _ 5 – 3 9 _ 3 3 2 3 9 __ 15 + 3 9 __ 25 + 3 9 _ 9 3 = 2 b. 2 3 9 _ 7 – 1 3 2 3 9 __ 49 + 3 9 _ 7 + 1 3 = 6 dritte Wurzel n-te Wurzel n-te Wurzel B höhere Wurzeln berechnen Rechenregeln für n-te Wurzeln „teilweises Wurzelziehen“ B D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv