Mathematik HTL 1, Schulbuch

48 Zahlen Viele Wurzeln sind keine rationalen Zahlen. Zum Beispiel gilt: 9 _ 2 ist eine irrationale Zahl. Das können wir uns so überlegen: Wenn die Wurzel aus 2 eine rationale Zahl wäre, dann könnten wir 9 _ 2 als Quotient zweier natürlicher Zahlen a und b schreiben. Wir können annehmen, dass nicht beide Zahlen gerade sind, sonst könnten wir die Bruchzahl a _ b kürzen. Wir überlegen uns zuerst, dass dann a eine gerade Zahl sein muss: Wegen a _ b = 9 _ 2 ist 2 a _ b 3 2 = 2, also a 2 = 2b 2 . Also ist a 2 eine gerade Zahl. Wäre a eine ungerade Zahl, dann wäre auch a 2 ungerade, also muss a gerade sein. Nun überlegen wir uns, dass dann auch b eine gerade Zahl sein muss: Wenn a gerade ist, kann a als Produkt 2c geschrieben werden, wobei c eine natürliche Zahl ist. Dann ist aber 2b 2 = a 2 = (2c) 2 = 4c 2 und b 2 = 2c 2 . Folglich ist b 2 und damit auch b gerade. Das widerspricht unserer Annahme, dass nicht beide Zahlen a und b gerade sind. Daher können wir 9 _ 2 nicht wie angenommen als Quotient zweier natürlicher Zahlen anschreiben, also ist 9 _ 2 keine rationale Zahl (und insbesondere keine Dezimalzahl). 222 Berechne die Wurzel der Zahl. a. 144 c. 225 _ 169 e. 1 _ 16 g. 0,0004 b. 36 _ 49 d. 169 _ 225 f. 0,01 h. 0,09 223 Überprüfe die Behauptung ohne Taschenrechner. a. 2 9 _ 7 + 9 _ 8 32 9 _ 7 – 9 _ 8 3 = ‒1 b. 2 9 __ 13 + 2 32 9 __ 13 – 2 3 = 165 224 Begründe, warum die Behauptung falsch ist. a. 9 _ 5 + 9 __ 11 = 4 b. 9 _ 7 = 9 ___ 9 – 2 = 9 _ 9 – 2 = 3 – 2 = 1 225 Finde rationale Zahlen a und b so, dass die Behauptung richtig ist. a. 2 9 __ 10 – 2 3 2 = a + b 9 __ 10 c. 2 9 _ 6 + 3 3 2 9 _ 6 – 1 _ 2 3 + 3 _ 4 – 2 9 _ 6 = a + b 9 _ 6 b. 2 9 __ 10 + 1 3 3 = a + b 9 __ 10 d. ( 9 _ 3 – 1)( 9 _ 3 + 1) + 5 _ 2 + 2 9 _ 3 = a + b 9 _ 3 226 Finde eine möglichst kleine positive rationale Zahl a und eine rationale Zahl b so, dass die Behauptung richtig ist. a. 9 _____ 6 3 ·7 4 ·8 3 = b 9 _ a b. 9 ______ 6 5 · 2 2 _ 3 3 4 · 2 1 _ 4 3 3 = b 9 _ a 227 Finde möglichst kleine positive ganze Zahlen a, c und eine rationale Zahl b so, dass die Behaup- tung richtig ist. a. 9 __ 63 = b 9 _ a c. 9 __ 125 = b 9 _ a e. 9 __ 99 _ 32 = b 9 _ a _ c b. 9 __ 48 = b 9 _ a d. 9 __ 121 _ 45 = b 9 _ a _ c f. 9 __ 27 _ 50 = b 9 _ a _ c 228 Finde eine rationale Zahl c so, dass die Behauptung richtig ist. a. 3· 9 __ 15 = 9 _ c b. 4 _ 5 · 9 __ 15 = 9 _ c 229 Berechne mit dem Taschenrechner und quadriere das Ergebnis zur Probe. a. 9 ____ 178,34 b. 9 _ 7 c. 9 ____ 0,0079 d. 9 _______ 0,0000000001 B D D B B B B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv