Mathematik HTL 1, Schulbuch

47 1.4 Potenzen Quadratwurzel Wenn wir die Seitenlänge s Meter eines Quadrates kennen, erhalten wir die Fläche des Quadrates in Quadratmeter, indem wir s 2 berechnen. Wie bekommen wir aber die Zahl s, wenn wir umgekehrt die Fläche a Quadratmeter kennen? Wir müssen dazu eine Zahl finden, deren Quadrat gleich a ist. Wenn a eine positive reelle Zahl ist, nennen wir eine positive reelle Zahl Wurzel oder Quadratwurzel aus a, wenn ihr Quadrat gleich a ist. Es gibt nur eine positive Zahl, die die Wurzel aus a ist, denn wären x und y Wurzeln aus a, dann wäre x 2 = a = y 2 , also 0 = x 2 – y 2 = (x – y)(x + y). Wenn ein Produkt von reellen Zahlen gleich 0 ist, muss mindestens einer der Faktoren gleich 0 sein. Da x und y positiv sind, ist x + y nicht gleich 0, also muss x – y = 0 sein, das heißt x = y. Wir bezeichnen die (eindeutig bestimmte) Wurzel aus a mit 9 _ a . Dann ist 2 9 _ a 3 2 = a . Für zwei positive reelle Zahlen a und b gilt: 9 _ a · 9 _ b = 9 __ a·b Die Wurzel eines Produktes ist das Produkt der Wurzeln, denn ( 9 _ a· 9 _ b)·( 9 _ a· 9 _ b) = ( 9 _ a· 9 _ a)·( 9 _ b· 9 _ b) = a·b. 9 _ a _ 9 _ b = 9 _ a _ b Die Wurzel eines Quotienten ist der Quotient der Wurzeln, denn 2 9 _ a _ 9 _ b 32 9 _ a _ 9 _ b 3 = 9 _ a· 9 _ a _ 9 _ b· 9 _ b = a _ b . Insbesondere gilt also für a = 1 1 _ 9 _ b = 9 _ 1 _ b , in anderer Schreibweise: 2 9 _ b 3 ‒1 = 9 __ b ‒1 . Achtung Wenn a und b größer als 0 sind, ist 9 ___ a + b nicht dasselbe wie 9 _ a + 9 _ b. Die Wurzel einer Summe ist nicht die Summe der Wurzeln! Zum Beispiel ist 9 ____ 9 + 16 = 9 __ 25 = 5, aber 9 _ 9 + 9 __ 16 = 3 + 4 = 7. Für eine gerade natürliche Zahl n = 2k gilt: 9 __ a n = 9 __ a 2k = 9 ___ 2 a k 3 2 = a k Für eine ungerade natürliche Zahl n = 2k + 1 gilt: 9 __ a n = 9 ___ a 2k + 1 = 9 ___ 2 a k 3 2 a = 9 ___ 2 a k 3 2 · 9 _ a = a k · 9 _ a 221 Berechne die Wurzeln aus 4, 4 _ 9 , 1,69 und 0,0004. 9 _ 4 = 2, weil 2 2 = 4 ist. 9 _ 4 _ 9 = 2 _ 3 , weil 2 2 _ 3 3 2 = 4 _ 9 ist. 9 ___ 1,69 = 1,3, weil 1,3 2 = 1,69 ist. 9 ____ 0,0004 = 0,02, weil 0,02 2 = 0,0004 ist. Reelle Zahlen, die keine rationalen Zahlen sind, nennen wir irrationale Zahlen . Wurzel Rechenregeln für Wurzeln B Wurzeln berechnen irrationale Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv