Mathematik HTL 1, Schulbuch

46 Zahlen 210 Berechne 23 2 im Kopf. 23 2 = (20 + 3) 2 = 20 2 + 2·20·3 + 3 2 = 400 + 120 + 9 = 529 211 Zeige die binomische Formel durch Ausmultiplizieren. a. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 b. (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 c. (a + b)(a – b) = a 2 – b 2 212 Finde eine binomische Formel durch Ausmultiplizieren. a. (a + b) 3 = b. (a + b) 4 = c. (a – b) 3 = d. (a – b) 4 = 213 Überlege, wie die Formeln für (a – b) 3 bzw. für (a – b) 4 aus den Formeln für (a + b) 3 bzw. (a + b) 4 gewonnen werden könnten, ohne erneut ausmultiplizieren zu müssen. Formuliere eine Anleitung. 214 Rechne im Kopf mithilfe der binomischen Formeln. Gib jeweils die verwendete binomische Formel an. a. 41 2 – 39 2 = c. 72 2 – 68 2 = e. 22 2 – 15·44 + 15 2 = b. 56 2 = d. 34 2 + 68·26 + 26 2 = f. 203 2 = 215 Verwandle in Summen bzw. Differenzen. a. (x + 5) 2 = d. (2x 2 – 5x) 2 = g. (2 – y)(2 + y) = b. (y + 3z) 2 = e. (3a 2 b + 6ab 2 ) 2 = h. (x 2 – 3)(x 2 + 3) = c. (4a – 3b) 2 = f. (x + 1)(x – 1) = i. (e 2 + f)(e 2 – f) = 216 Verwandle in Summen bzw. Differenzen. a. (a + 1) 3 = d. (4u – 3v) 3 = g. (a 3 b 2 c – 2bc 2 ) 3 = b. (2x + y) 3 = e. (2 x 2 + y 4 ) 3 = h. (4x 2 – 3 x 5 y 2 ) 3 = c. (2x – 4) 3 = f. (8s 4 + t) 3 = i. (3a 2 b 3 + 5a 4 b 2 )(3a 2 b 3 – 5a 4 b 2 ) = 217 Verwandle mithilfe eines CAS in ein Produkt. a. 16 – x 2 = c. 2985984x 6 – 4914432x 4 y 3 + 2696112x 2 y 6 – 493039y 9 = b. 27a 3 – 54a 2 b + 36ab 2 – 8b 3 = d. 6967871a 6 b 3 – 3173847a 5 b 5 + 481 893a 4 b 7 – 24389a 3 b 9 = 218 Finde durch Ausmultiplizieren der Klammern binomische Formeln. Welche Struktur hat der Klammerausdruck, der jeweils mit (a – b) multipliziert wird? Wie sieht dieser Klammerausdruck bei der nächsten bzw. übernächsten Rechnung aus? a. (a 2 + ab + b 2 )(a – b) = b. (a 3 + a 2 b + ab 2 + b 3 )(a – b) = c. (a 4 + a 3 b + a 2 b 2 + ab 3 + b 4 )(a – b) = 219 Für das Quadrieren einer Zahl, die auf ,5 endet, gibt es einen Rechentrick: Beispiele: 3 ,5 2 = 12 ,5 2 = Die nächst größere natürliche Zahl Die nächst größere natürliche Zahl nach 3 ist 4 . nach 12 ist 13 . Rechne: 3 · 4 = 12 Rechne: 12 · 13 = 156 Hänge an das Ergebnis ,25 an! Hänge an das Ergebnis ,25 an! Du erhältst: 3,5 2 = 12,25 Du erhältst: 12,5 2 = 156,25 a. Berechne mithilfe dieses Rechentricks: I. 4,5 2 II. 6,5 2 III. 9,5 2 IV. 7,5 2 V. 11,5 2 VI. 13,5 2 VII. 22,5 2 b. Begründe, warum dieser Rechentrick stets das richtige Ergebnis liefert. Hinweis: Berechne (n + 0,5) 2 und fasse das Ergebnis geschickt zusammen. 220 Berechne im Kopf nach dem Schema 38·42 = (40 – 2)(40 + 2) = 40 2 – 2 2 = 1 600 – 4 = 1 596. a. 19·21 = b. 27·33 = c. 54·46 = d. 16·24 = e. 55·65 = f. 106·94 = B binomische Formeln anwenden D D C B, C B B B B, D B, D B mcd 2nh65d Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv