Mathematik HTL 1, Schulbuch

45 1.4 Potenzen Binomische Formeln Die folgenden Rechenregeln für Potenzen heißen binomische Formeln . Man kann sie leicht durch Ausmultiplizieren herleiten. Für beliebige reelle Zahlen a und b gilt: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 (a + b)(a – b) = a 2 – b 2 Diese drei binomischen Formeln können auch geometrisch interpretiert werden, falls die Zahlen a und b positiv sind. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Wird (a + b) als Länge einer Strecke aufgefasst, so entspricht (a + b) 2 der Fläche eines Quad- rats mit Seitenlänge (a + b). Auf ähnliche Weise können auch die anderen beiden Formeln geometrisch interpretiert werden, wir geben dazu die folgenden zwei Bilder an. (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 (a + b)(a – b) = a 2 – b 2 Beachte: Die binomischen Formeln können in beide Richtungen gelesen werden. „Ausmultiplizieren“ der Klammerausdrücke verwandelt ein Produkt in Summen bzw. Differenzen. (a + b) 2 ¥ = a 2 + 2ab + b 2 (a – b) 2 ¥ = a 2 – 2ab + b 2 (a – b)(a + b) ¥ = a 2 – b 2 Mit den binomischen Formeln können Summen bzw. Differenzen in ein Produkt verwandelt werden, auch wenn Herausheben nicht möglich ist. a 2 + 2ab + b 2 ¥ = (a + b) 2 a 2 – 2ab + b 2 ¥ = (a – b) 2 a 2 – b 2 ¥ = (a – b)(a + b) 208 Multipliziere (3xy 2 – 5x 2 y) 2 aus. Wir schreiben a für 3xy 2 und b für 5x 2 y. Dann ist (3xy 2 – 5x 2 y) 2 = (a – b) 2 1223245 122232225 a b und (3xy 2 – 5x 2 y) 2 = (3xy 2 ) 2 – 2·3xy 2 ·5x 2 y + (5x 2 y) 2 = 9x 2 y 4 – 30x 3 y 3 + 25x 4 y 2 . 1223245 1223245 122232245 12222222322222245 122232245 a b a 2 2ab b 2 209 Berechne 101 2 – 99 2 ohne die Quadrate zu berechnen. Wir schreiben a für 101 und b für 99. Dann ist 101 2 – 99 2 = a 2 – b 2 = (a – b)·(a + b) = (101 ‒ 99)(101 + 99) = 2·200 = 400. binomische Formeln a 2 Fläche = = (a + b) 2 b 2 a ∙ b a ∙ b a a b a b b b a a ∙ b – b 2 a ∙ b a a b b 2 (a – b) (a – b) Fläche = = ( a – b ) 2 = = a 2 – a ∙ b – – ( a ∙ b – b 2 ) a b a (a – b) (a + b) Fläche = = (a – b) ∙ (a + b) = = a 2 – b 2 b 2 B binomische Formeln anwenden B binomische Formeln anwenden ggb 77bk5n ggb/mcd/tns 5nr23e Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv