Mathematik HTL 1, Schulbuch

4 Ein Blick ins Buch Jedes Kapitel beginnt mit einer Auftaktseite , die einen Überblick über die Abschnitte des Kapitels gibt. Am Beginn jedes Abschnitts werden die Kompetenzen vorgestellt, die in diesem Abschnitt erworben werden. In den Abschnitten wechseln Theorie und Aufgaben ab, sodass die neuen Inhalte gleich angewandt, verstanden und geübt werden können. Verwendete Abkürzungen: DGS … dynamische Geometriesoftware CAS … Computeralgebrasystem GTR … graphikfähiger Taschenrechner In blauen Kästen finden sich Musteraufgaben , die zeigen, wie Aufgaben gelöst werden können. Eine besondere Hilfe sind die Kennzeichnungen „ Tipp “ und „ Achtung “, die darauf aufmerksam machen, welche Strategien beim Lösen mathematischer Fragestellungen angewendet werden können und wo man besonders aufpassen sollte. Wichtige mathematische Inhalte (Definitionen, Sätze…) sind in gelben Kästen hervorgehoben. 73 Lineare Gleichungen und Ungleichungen mit einer Unbekannten 2 2.1 Modellieren einfacherAufgabendurch lineareGleichungen miteinerUnbekannten 2.2 Äquivalenzumformungen 2.3 Textaufgaben 2.4 Umformen von Formeln 2.5 Mengenund lineareUngleichungenmiteinerUnbekannten Zusammenfassungund zusammenfassendeAufgaben HTL_1_ch02.indd 73 04.10.2011 12:39:01 76 2.2 Äquivalenzumformungen Ich lerne zu entscheiden,ob lineareGleichungenmit einerUnbekanntenäquivalent umgeformtwurden,und ich lernemeineEntscheidung zubegründen. Ich lerne lineareGleichungenmit einerUnbekannten zu lösen. Ich lerne zu entscheiden,ob spezielleGleichungen in lineareGleichungenmit einer Unbekanntenumgeformtwerdenkönnen. DieAufgabe „Finde eineZahl zmit z =2“ istbesonders einfach zu lösen.DiegesuchteZahl ist2. Meisthabenwir esabermit komplizierteren linearenGleichungenmit einerUnbekannten zu tun,diewir erstaufdiesebesonders einfache Formbringenmüssen. 348 Finde eineZahl x so,dass2x+5 – (x+3) = 4x+3+2(x –2) ist. DieseGleichung kann in einfachereGleichungenmitderselben Lösungumgeformtwerden: 2x+5 – (x+3) = 4x+3+2(x –2) ! Klammernauflösen 2x+5 – x –3 = 4x+3+2x – 4 ! zusammenfassen x+2 =6x – 1 ! 6x vonbeidenSeitenderGleichung subtrahieren x+2 –6x =6x – 1 –6x ! zusammenfassen ‒5x+2 = ‒1 ! 2 vonbeidenSeitenderGleichung subtrahieren ‒5x+2 –2 = ‒1 –2 ! zusammenfassen ‒5x = ‒3 ! beideSeitenderGleichungdurch ‒5dividieren ‒5x _ ‒5 = ‒3 _ ‒5 ! vereinfachen/ausrechnen x = 3 _ 5 Was ist eine „Äquivalenzumformung“? Tipp Zum Lösen vonGleichungen verwendenwirdie folgendeVorgangsweise:Wennwir eineAufgabe nicht sofort lösen können,dann verändernwirdieAufgabe so,dass sie einfacherwird, zugleich aberdieselbe LösungwiedieursprünglicheAufgabehat.Dieswiederholenwir so lange,bisdie Aufgabe so leichtgeworden ist,dasswir sie „imKopf“ lösen können. ZweiGleichungen,diedieselbe Lösunghaben,nennenwir äquivalent .DenÜbergang von einer Gleichung zu eineräquivalentenGleichungnennenwir erlaubteUmformung oder Äquivalenz- umformung einerGleichung. NebendemAuflösenbzw.Ausmultiplizieren vonKlammernunddemZusammenfassen sinddie folgendenUmformungenÄquivalenzumformungen. DiebeidenSeiten einerGleichungdürfen vertauschtwerden. Wenn zumBeispiel3z+ 4 =5 ist,dann istauch5 =3z+ 4. ZubeidenSeiten einerGleichungdarfdieselbe Zahl addiertwerden. Wenn zumBeispiel3z+ 4 =5 ist,dann istauch3z+ 4+3 =5+3,also3z+7=8. Wir schreiben kurz: 3z+ 4 =5 ! +3 3z+7=8 VonbeidenSeiten einerGleichungdarfdieselbe Zahl subtrahiertwerden. Wenn zumBeispiel3z+ 4 =5 ist,dann istauch3z+ 4 –3 =5 –3,also3z+ 1 =2. Wir schreiben kurz: 3z+ 4 =5 ! –3 3z+ 1 =2 B eine lineare Gleichung mit einer Unbekannten umformen äquivalent Äquivalenz- umformung Äquivalenz- umformungen von Gleichungen ggb/mcd/tns 3e22s9 ggb bg33jv 74 2.1 Modellieren einfacher Aufgaben durch lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Ich lerneAufgabendurch lineareGleichungenmit einerUnbekannten zubeschreiben. Ich lerne zu entscheiden,ob lineareGleichungenmit einerUnbekanntenAufgaben richtig beschreiben. Maria sagt zuAndreas: „Ich kannGedanken lesen.Denkdir eineZahlund ichwerde siedirdann sagen.Aber einbisschenmusstdumirüberdieseZahl schon verraten.“ „Gut“,antwortetAndreas, „ichdenkemir eineZahl.“Maria sagt: „MultiplizieredieseZahlmit3und zähledann2dazu. WelcheZahlhastdudann?“ „8“,antwortetAndreas. „Dannhastdudir2gedacht!“ „Stimmt“, ist Andreas erstaunt, „wiehastdudasherausbekommen?“ Maria kannnatürlichnichtGedanken lesen.Sieweiß,dass sichAndreas einebestimmteZahl gedachthatundnenntdieseZahl z.Andreashat sichdieZahl zgedachtunddanndieZahlen3z und3z+2berechnet.Die letzteZahl ist8.Mariaüberlegt: „Wenn3z+2 =8 ist,dannmuss3zum 2 kleiner seinals8,also6.Wenn3z =6 ist,dann ist z einDrittel von6,also2.Daher ist z =2.“ MariahatdieAufgabe „Finde eineZahl z so,dass3z+2 =8 ist“gelöst.DiegesuchteZahl kommt mitHochzahl 1 vor. Eine solcheAufgabenennenwir eine lineareGleichungmit einerUnbekannten . DieZahl zheißtdann Lösung dieserGleichung.DieseGleichung lösen heißt,dieZahl z zu berechnen.Statt „Finde eineZahl z so,dass3z+2 =8 ist“ schreibenwiroft kurz „LösedieGleichung3z+2 =8“. Statt z könnenwirauch einbeliebigesanderesZeichen fürdiegesuchteZahl verwenden,also zumBeispiel „LösedieGleichung3@+2 =8“. DieZahl linksbzw. rechts vomGleichheitszeichennennenwir kurzdie „linkeSeite“bzw.die „rechteSeite“derGleichung. 342 ErgänzedenSatznachdemMuster: „LösedieGleichung 4a+3 = 1“heißt „Finde eineZahl,deren Vierfachesum3 vermehrtgleich 1 ist“. a. „LösedieGleichung5 α –2 = 12“heißt „Finde eineZahl… b. „LösedieGleichung 12 –3y = 15“heißt „Finde eineZahl… c. „LösedieGleichung3z+7=30 –5z“heißt „Finde eineZahl… d. „LösedieGleichung5(u – 1)+3(u+ 1) = 10u – 1“heißt „Finde eineZahl… 343 FormulieredenTextnachdem folgendenMusterum: „Finde eineZahl,derenVierfachesum3 vermehrt 1 ist“heißt „LösedieGleichung 4a+3 = 1“. a. Finde eineZahl,deren Fünffachesum 9 vermindert 11 ergibt. b. UmdasDreifachewelcherZahlmusstdu 12 vermindern,damitdu 18 erhältst? c. EineZahlwird zunächstum3 vermehrtunddieSumme sodannmit7multipliziert. DasErgebnisdieserBerechnung ist63.FindedieseZahl. d. DasDoppelte einerum3 vermindertenZahl istgenausogroßwiedieHälftederum3 vermehrtenZahl.Wie lautetdieZahl? e. Dividiertman eineZahldurch8und vermindertdenQuotientenum 17, so erhältmandie Differenz 12.FindedieseZahl. f. Addiere zumDreifachen einerZahldasDoppeltederum 1 vermehrtenZahl sowiedieum2 vermehrteZahl.DividieredieseSummedurch 4.Dann istdieserQuotientgenausogroßwie dieum 4 vermehrteursprünglicheZahl.Wie lautetdieZahl? lineare Gleichung mit einer Unbekannten A A Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv