Mathematik HTL 1, Schulbuch

39 1.4 Potenzen Für zwei von 0 verschiedene reelle Zahlen a und b und ganze Zahlen m und n gilt: a n ·a m = a n + m Potenzen gleicher Basis werden multipliziert, indem die Exponenten addiert werden. a n _ a m = a n – m Potenzen gleicher Basis werden dividiert, indem die Exponenten subtrahiert werden. a 0 = 1 a ‒n = 1 _ a n (a n ) m = a n·m Potenzen werden potenziert, indem die Exponenten multipliziert werden. (a·b) n = a n ·b n Die Potenz eines Produktes ist gleich dem Produkt der Potenzen. 2 a _ b 3 n = a n _ b n Die Potenz eines Quotienten ist gleich dem Quotienten der Potenzen. Tipp Die Summe von Vielfachen der gleichen Potenz kann man durch Herausheben als Vielfaches dieser Potenz schreiben. Beispiel: 2·10 3 + 5·10 3 = (2 + 5)·10 3 = 7·10 3 Die folgenden zwei Musteraufgaben zeigen, dass man manchmal auch die Summe von Vielfachen verschiedener Potenzen durch geschicktes Herausheben als Vielfaches einer weiteren Potenz schreiben kann. Wenn Potenzen dieselbe Basis, aber verschiedene Exponenten haben, können wir die Exponenten „angleichen“: 172 Berechne 3·10 4 + 5·10 3 . Exponenten angleichen 3·10 4 + 5·10 3 = 30·10 3 + 5·10 3 = 35·10 3 In manchen Fällen können auch Potenzen, die zunächst unterschiedliche Basis haben, mit gleicher Basis angeschrieben werden. 173 Berechne 4 3 – 2 3 . Basen Exponenten angleichen angleichen 4 3 – 2 3 = (2 2 ) 3 – 2 3 = 2 6 – 2 3 = 8·2 3 – 1·2 3 = 7·2 3 Tipp Wenn neben Punkt- und Strichrechnungen auch Potenzen auftreten, berechnet man zuerst Klammern,  dann Potenzen,  danach Multiplikationen und Divisionen  und zum Schluss Additionen und Subtraktionen.  174 Schreibe als Potenz mit negativem Exponenten. a. 1 _ a = b. 1 _ b 4 = c. 1 _ c 7 = d. 1 _ e 2 = 175 Schreibe als eine einzige Potenz. a. a 5 _ a 3 = c. c 4 ·c _ c 2 = e. (e 3 ·e 2 ) 3 __ e 4 ·e 5 = g. g 2 ·g _ (g ‒5 ) 3 = b. b 7 _ b = d. d 6 ·d 2 _ d·d 3 = f. (f 3 ) 2 _ (f 2 ) 3 = h. (h 5 ·h·h ‒2 ) 5 __ h = Rechenregeln für Potenzen B Exponenten angleichen B Basen und Exponenten angleichen B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv