Mathematik HTL 1, Schulbuch

38 1.4 Potenzen Ich lerne die Rechenregeln für Potenzen mit ganzzahligen Exponenten zielgerichtet und sicher anzuwenden. Ich lerne Zahlen in normalisierte Gleitkommadarstellung umzuwandeln und mit so dargestellten Zahlen zu rechnen. Ich lerne Maßzahlen zwischen verschiedenen Einheiten umzurechnen und mit den entsprechenden Zehnerpotenzen darzustellen. Ich lerne binomische Formeln herzuleiten und anzuwenden. Ich lerne die Rechenregeln für Potenzen mit rationalen Exponenten zielgerichtet und sicher anzuwenden. Die Potenzschreibweise, die wir für natürliche und rationale Zahlen schon kennengelernt haben, können wir für alle reellen Zahlen a verwenden. Wir schreiben a 2 für a·a, a 3 für a·a·a usw. und verwenden dieselben Sprechweisen wie im Fall, dass a eine natürliche Zahl ist. Wir sagen also „das Quadrat von a“ oder „a Quadrat“ oder „a hoch 2“ für a 2 und „die dritte Potenz von a“ oder „a zur Dritten“ oder „a hoch 3“ für a 3 . Für jede reelle Zahl a schreiben wir anstatt a·a·a·…·a kürzer a n und nennen dies die 12222222322222245 n-mal n-te Potenz von a oder a hoch n . Wir nennen a die Basis der Potenz und n die Hochzahl oder den Exponenten der Potenz. Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Bisher waren die Exponenten von Potenzen immer natürliche Zahlen. Bei den Rechenregeln für reelle Zahlen haben wir außerdem die Schreibweise „hoch minus eins“ für die Division von 1 durch eine Zahl ungleich 0 kennengelernt: 5 ‒1 = 1 _ 5 Was bedeutet dann zum Beispiel (a 3 ) ‒1 ? Diese Zahl muss die Eigenschaft a 3 ·(a 3 ) ‒1 = 1 haben. Wegen a·a·a·a ‒1 ·a ‒1 ·a ‒1 = 1 ist (a 3 ) ‒1 = (a ‒1 ) 3 . Wir schreiben dafür einfach a ‒3 . Wenn wir die Schreibweise 1 _ a für a ‒1 verwenden, ist a ‒3 = 1 _ a 3 = 2 1 _ a 3 3 . Allgemein definieren wir für jede natürliche Zahl n und jede von 0 verschiedene reelle Zahl a: a ‒n = (a ‒1 ) n in anderer Schreibweise: a ‒n = 1 _ a n Achtung Beachte, dass das Gleichheitszeichen = nun eine zweite Bedeutung bekommt. Bisher haben wir es verwendet, um zu behaupten, dass zwei Zahlen gleich sind. Zum Beispiel wird mit 1 + 1 = 2 behauptet, dass die Zahlen 1 + 1 und 2 gleich sind. Manchmal werden wir das Zeichen = auch verwenden, um neue Schreibweisen oder Worte zu definieren. Mit a n = (a 1 ) n legen wir fest, dass das bisher unbekannte Zeichen a n dasselbe wie das schon bekannte Zeichen (a 1 ) n bedeutet. n-te Potenz Basis, Exponent Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv