Mathematik HTL 1, Schulbuch

35 1.3 Rationale Zahlen – Bruchzahlen Wenn a und b positive ganze Zahlen sind, dann heißt die kleinste positive ganze Zahl, die ein Vielfaches von a und von b ist, das kleinste gemeinsame Vielfache von a und b. Wir schreiben dafür kurz kgV(a, b) . Wenn a ein Vielfaches von b ist, dann ist kgV(a,b) = a. Wenn ggT(a,b), der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen a und b, bekannt ist, berechnen wir das kleinste gemeinsame Vielfache von a und b einfach so: kgV(a, b) = a·b __ ggT(a,b) . Wir geben hier keine Begründung für diese Behauptung. Wozu brauchen wir das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen? Beim Rechnen mit rationalen Zahlen haben wir angemerkt, dass es für das Addieren und Subtrahieren von Bruchzahlen einfacher sein kann, wenn wir die Bruchzahlen mit gleichem Nenner darstellen. Der kleinste gemeinsame Nenner ist dann das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner. 143 Berechne 7 _ 123 + 2 _ 45 . Zuerst stellen wir fest, ob wir eine der beiden Bruchzahlen kürzen können. Dies ist nicht der Fall. Der kleinste gemeinsame Nenner ist daher kgV(123,45). Wir wissen bereits (siehe Musteraufgabe auf Seite 34), dass ggT(123,45) = 3 ist, d.h. kgV(123,45) = 123·45 __ ggT(123,45) = 123·45 _ 3 = 1 845. Um die erste Bruchzahl mit Nenner 1 845 darzustellen, müssen wir Nenner und Zähler mit 45 _ 3 = 15 multiplizieren. Wir erhalten: 7·15 _ 123·15 = 105 _ 1845 Um die zweite Bruchzahl mit Nenner 1845 darzustellen, müssen wir Nenner und Zähler mit 123 _ 3 = 41 multiplizieren. Wir erhalten: 2·41 _ 45·41 = 82 _ 1845 Also ist 7 _ 123 + 2 _ 45 = 105 _ 1845 + 82 _ 1845 = 187 _ 1845 . Zuletzt überprüfen wir noch, ob wir das Ergebnis kürzen können, und berechnen dazu: ggT(1845,187) = ggT(187,162) = ggT(162,25) = ggT(25,12) = ggT(13,12) = ggT(12,1) = 1 Da der größte gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner 1 ist, lässt sich die Bruchzahl 187 _ 1845 nicht mit kleinerem Zähler und Nenner darstellen. 144 Bestimme den größten gemeinsamen Teiler mithilfe des Euklidischen Algorithmus zuerst mit „fortgesetzter Subtraktion“ und dann mit Division mit Rest. Vergleiche die Anzahl der benötigten Rechenschritte. a. ggT(210,195) = c. ggT(1764,1 330) = e. ggT(432,624) = b. ggT(2208,672) = d. ggT(101,47) = f. ggT(1,128) = 145 Berechne mithilfe eines CAS oder Tabellenkalkulationsprogramms den größten gemeinsamen Teiler der zwei Zahlen. a. 7012 und 48608 c. 3660250 und 10955763 b. 9331 200 und 505440 d. 628992 und 4756752 146 Zahlen, deren größter gemeinsamer Teiler 1 ist, heißen (zueinander) relativ prim. Bestimme, welche der folgenden Zahlen zueinander relativ prim sind. A 34 und 49 C 132 und 169 E 226 und 351 B 72 und 95 D 174 und 261 F 1 305 und 1 512 kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) B rationale Zahlen addieren B, C B B ggb/mcd/tns 3c32qw Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv