Mathematik HTL 1, Schulbuch

33 1.3 Rationale Zahlen – Bruchzahlen Kürzen von Bruchzahlen Wenn a und b Zähler und Nenner der Bruchzahl a _ b sind, dann ist a _ b = ‒a _ ‒b , also sind dann auch ‒ a und ‒b Zähler und Nenner dieser Bruchzahl. Wir können daher immer annehmen, dass der Nenner eine positive Zahl ist. Beispiel: 3 _ ‒5 = ‒3 _ 5 = ‒ 3 _ 5 Wenn c eine von 0 verschiedene Zahl ist, dann ist c·a _ c·b = a _ b . Den Übergang von der Darstellung dieser Bruchzahl durch Zähler c·a und Nenner c·b zur Darstellung durch Zähler a und Nenner b nennen wir durch c kürzen . Beachte: Beim Kürzen bleibt die Bruchzahl unverändert, aber sie wird mit einem Zähler, dessen Betrag kleiner ist, und mit einem Nenner, dessen Betrag kleiner ist, dargestellt. Beispiele:  6 _ 21 = 3·2 _ 3·7 = 2 _ 7  6657 _ 3804 = 951·7 _ 951·4 = 7 _ 4 Das Rechnen mit Bruchzahlen wird einfacher, wenn Zähler und Nenner so klein wie möglich sind. Anders gesagt: Tipp Das Rechnen mit Bruchzahlen wird einfacher, wenn Zähler und Nenner bestmöglich gekürzt werden, das heißt, wenn Zähler und Nenner durch eine möglichst große Zahl gekürzt werden. Ein gemeinsamer Teiler zweier natürlicher Zahlen ist eine natürliche Zahl, die beide teilt. Der größte gemeinsame Teiler zweier natürlicher Zahlen ist die größte Zahl, die beide teilt. Für den größten gemeinsamen Teiler der natürlichen Zahlen a und b schreiben wir kurz ggT(a, b) . Kürzen können wir durch gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner. Die größte Zahl, durch die gekürzt werden kann, ist daher der größte gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner. Wie können wir den größten gemeinsamen Teiler berechnen? Überlegen wir zuerst: Wir geben zwei positive natürliche Zahlen vor:  Wenn wir zwei gleiche Zahlen haben, ist nichts zu tun, denn ggT(a,a) = a, anderenfalls nennen wir die größere a und die kleinere b. Wenn eine natürliche Zahl c die Zahlen a und b teilt, dann teilt sie auch die Zahlen a + b und  a – b. Denn: Wenn c ein Teiler von a und von b ist, dann gibt es natürliche Zahlen s und t so, dass c·s = a und c·t = b ist. Dann ist aber a + b = c·s + c·t = c·(s + t), also a + b ein Vielfaches von c. Ebenso ist a – b = c·s – c·t = c·(s – t), also a – b ein Vielfaches von c. Daraus können wir schließen: Jede Zahl, die ein gemeinsamer Teiler von a und b ist, ist auch  ein gemeinsamer Teiler von a – b und b. Umgekehrt ist jede Zahl, die ein gemeinsamer Teiler von a – b und b ist, auch ein gemeinsamer Teiler von a = (a – b) + b und b. Wir können also anstatt ggT(a,b) zu berechnen, auch ggT(a – b,b) berechnen. Die größere der  zwei Zahlen ist dadurch kleiner geworden. Das wiederholen wir so lange, bis keine der beiden Zahlen mehr größer als die andere ist, also die beiden Zahlen gleich sind. Dann ist diese Zahl gleich ggT(a,b). kürzen größter gemeinsamer Teiler (ggT) Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv