Mathematik HTL 1, Schulbuch

Lösungen zu „Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt?“ 310 1081. Wir zeichnen zunächst die Hypote- nuse, eine Strecke mit 7cm Länge, und errichten einen Halbkreis über der Hypotenuse. Dann schlagen wir mit dem Zirkel von einem Eckpunkt eine Strecke mit 4,8cm Länge auf dem Halbkreis ab. Dieser Schnitt- punkt ist der dritte Eckpunkt des gesuchten Dreiecks. Der Winkel α ist ca. 43° und der Winkel β ist ca. 46°. 1082. Laut Höhensatz gilt c a ·c b = h 2 . Wir wählen daher c a und c b so, dass deren Produkt 6cm 2 ist, zum Beispiel 2cm und 3cm. Wir zeichnen nun die Hypotenuse mit 2 + 3 = 5cm Länge und errichten darüber einen Halb- kreis. Wir wählen einen Punkt der Hypotenuse, der zu einem ihrer Eckpunkte den Abstand 2 hat. Durch diesen Punkt zeichnen wir eine Gerade ein, die auf der Hypotenuse normal steht. Der Schnitt- punkt dieser Geraden mit dem Halbkreis ist der Eckpunkt eines rechtwinkeligen Dreiecks, dessen Höhe auf die Hypotenuse nach dem Höhensatz 9 _ 6 ist. 5.3 Flächenberechnungen 1110. Mit einer gemessenen Höhe von 4,1cm ergibt sich eine Fläche von ca. 24,6cm 2 . 1111. 41,57cm 2 [Ein regelmäßiges Sechseck besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken. Seine Fläche ist daher 6· a 2 · 9 _ 3 _ 4 , wobei a die Seitenlänge bezeichnet.] 1112. a. b. Umfang: 18,85cm; Fläche: 25,37cm 2 [Der Umfang ist die Summe aus 3 Kreisbögen (Kreis mit Radius r) mit einem Winkel von α = 60° und r = a = 6cm. Also ist der Umfang 3· r· π ·60° __ 180° = 18,85cm. Die Fläche ist die Fläche von 3 Kreissektoren abzüglich 2-mal der Fläche des gleichseitigen Dreiecks. Die Fläche ist also 3· r 2 · π ·60° __ 360° – 2· r 2 · 9 _ 3 _ 4 = 25,37cm 2 ] 1113. b. 6cm 2 c. Fläche = a·b _ 2 [Die Fläche ist die Fläche des rechtwinkeligen Dreiecks plus der Flächen der beiden kleineren Halbkreise abzüglich der Fläche des großen Halbkreises also: a·b _ 2 + 2 a _ 2 3 2 · π _ 2 + 2 b _ 2 3 2 · π _ 2 – 2 c _ 2 3 2 · π _ 2 Durch Herausheben erhalten wir a·b _ 2 + π _ 2 · 1 _ 4 (a 2 + b 2 – c 2 ). Nach dem Satz von Pythagoras gilt a 2 + b 2 – c 2 = 0, somit ist die Fläche a·b _ 2 .] 5.4 Trigonometrie im rechtwinkeligen Dreieck 1174. a. sin( α ) = 0,49; cos( α ) = 0,87; tan( α ) = 0,57 b. sin( β ) = 0,27; cos( β ) = 0,96; tan( β ) = 0,28 c. sin( γ ) = 0,43; cos( γ ) = 0,9; tan( γ ) = 0,48 d. sin( δ ) = 0,94; cos( δ ) = 0,33; tan( δ ) = 2,82 1175. a. m ist die Hypotenuse. b. e ist die Gegenkathete von λ . c. e ist die Ankathete von ε . d. u = 8,49cm; λ = 39,52°; ε = 50,48° [u 2 = m 2 – e 2 ; sin( λ ) = e _ m ; cos( ε ) = e _ m ] 1176. e = 16,96cm, α = 87,97°, β = 113,02°, γ = 45,99°, A = 84,82cm 2 [e 1 = 9 _____ a 2 – 2 f _ 2 3 2 ≈ 5,18cm; e 2 = 9 _____ b 2 – 2 f _ 2 3 2 ≈ 11,78cm; e = e 1 + e 2 = 16,96 cm. sin 2 α _ 2 3 = f _ 2 _ a daher ist: α = 2·sin ‒1 2 f _ 2 _ a 3 ≈ 84,97°; γ = 2·sin ‒1 2 f _ 2 _ b 3 ≈ 45,99°; β = 180° – α _ 2 – γ _ 2 = 113,02°; A = e· f _ 2 = 84,8cm 2 ] 1177. 7,41° [13% Steigung bedeutet, dass es auf einer Länge von 100m 13m Höhenunterschied gibt. Bezeichnen wir den Steigungswinkel mit α , dann ist tan( α ) = 13 _ 100 , daher ist α = 7,41°] 1178. Der horizontale Platzbedarf beträgt 6m. [Wenn x die horizontale Länge ist, dann gilt tan(35°) = 4,20 _ x , daher ist x = 4,20 __ tan(35°) = 6,00] 5.5 Vektoren in der Geometrie 1196. a. 5 _ 12 b. 9 __ 41 1197. a. c b a A C B ó ô 4,8cm 2 3 ń A B D C a b h = 4,1cm M = 1 : 2 ó = 54° A C B a a a y 0 x - 6 - 4 - 2 2 4 6 2 4 6 - 4 - 2 S Q P R - 3s 1,5r r + s p + q 2p q q – s 1 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv