Mathematik HTL 1, Schulbuch

Lösungen zu „Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt?“ 309 932. (n + m)(a) = ‒ 1 _ 2 a + 3 + a 2 = a 2 – 1 _ 2 a + 3 933. (f – g)(x) = x 3 _ 2 – 3x _ 2 934. a. H(n) = 85n b. O(n) = 1,80n c. H + O, für alle n ist (H + O)(n) = 86,80n d. 3(H + O), für alle n ist 3(H + O)(n) = 260,40n e. 1562,40€ [3(H + O)(6) = 260,40·6 = 1562,40] 4.5 Rechnen mit Polynomen und Bruchtermen 969. a. x 2 + 5x ‒1 [p + q = x 2 + 3x + 4 + 2x – 5 = x 2 + 5x ‒1] b. x 2 + x + 9 [p – q = x 2 + 3x + 4 – (2x – 5) = x 2 + x + 9] c. 2x 3 + x 2 – 7 x – 20 [p·q = (x 2 + 3x + 4)·(2x – 5) = 2x 3 + x 2 – 7x – 20] 970. a. x 2 + 3x; (x + 1) Rest [ x 4 + 3x 3 – 4x 2 – 11x + 1) : (x 2 – 4) = x 2 + 3x ‒(x 4 – 4x 2 ) 3x 3 ‒11x + 1 ‒(3x 3 ‒12x) x + 1 Rest] b. x 2 + 3; 2 Rest 971. a. Nullstellen: 1,65 und 2; Der Grad ist mindestens 2. b. Nullstellen: 1, 2 und 3; Der Grad ist mindestens 3. 972. 13x 2 – 33x + 10 __ (2x + 1)(3x – 2) ; Definitionsbereich: R \ { ‒ 1 _ 2 , 2 _ 3 } 4 3x – 7 _ 2x + 1 + 2x – 4 _ 3x – 2 = (3x – 7)(3x – 2) + (2x – 4)(2x + 1) _____ (2x + 1)(3x – 2) = 13x 2 – 33x + 10 __ (2x + 1)(3x – 2) 5 973. ‒x 2 + x + 1 __ (x – 1) 2 ; Definitionsbereich: R \{1} 4 3x – 2 __ x 2 – 2x + 1 – x + 3 _ x – 1 = 3x – 2 _ (x – 1) 2 – x + 3 _ x – 1 = (3x – 2) – (x + 3)(x – 1) ___ (x – 1) 2 = ‒x 2 + x + 1 __ (x – 1) 2 5 974. 1 _ 2(x + 1) ; Definitionsbereich: R \{‒1, 2} 4 x + 1 _ 2x – 4 · x – 2 _ (x + 1) 2 = (x + 1)(x – 2) __ 2(x – 2)(x + 1) 2 = 1 _ 2(x + 1) 5 975. 3(x + 1); Definitionsbereich: R \{‒2, ‒1, 1} 4 3x + 6 _ x – 1 · x 2 – 1 _ x + 2 = 3(x + 2)(x – 1)(x + 1) ___ (x – 1)(x + 2) = 3(x + 1) 5 5 Geometrie 5.1 Grundbegriffe der ebenen Geometrie 1022. 28,3067° [28 + 18 _ 60 + 24 _ 3600 ≈ 28,3067] 1023. 68° 17’ 5’’ [0,2847·60 = 17,082; 0,082·60 = 4,92 ≈ 5] 1024. 0,8203rad [47°· π _ 180° ≈ 0,8203] 1025. 7,0703° ≈ 7° 4’ 13’’ [0,1234rad· 180 _ π = 7,0703] 1026. γ = 114° 56’ 36’’ [180° – α – β = 180° – 23° 11’ 15’’ – 41° 52’ 9’’ = 114° 56’ 36’’] 1027. a. γ 1 = 180° – ( α + β ), γ 2 = α , γ 3 = β b. γ 1 = 76°, γ 2 = 35°, γ 3 = 69° 1028.a. γ 1 = 180° – ( α + β ), γ 2 = 90° – α , γ 3 = 90° – β b. γ 1 = 108°, γ 2 = 58°, γ 3 = 50° 5.2 Grundlegendes zum rechtwinkeligen Dreieck 1076. a. 122cm 2 b. 625cm 2 1077. Die Stehleiter ist 1,96m hoch. [Die Leiter bildet ein gleichschenkeliges Dreieck, daher kann die Höhe mit dem Satz von Pythagoras berechnet werden: 9 ______ 2,1 2 – 2 1,5 _ 2 3 2 = 1,96] 1078.a. 50,13cm [e = 9 ____ 6 2 + 10 2 ≈ 11,66 cm; g = 9 ____ 4 2 + 2 2 ≈ 4,47 cm] b. 135,80cm [a = j = 9 _____ 10 2 + 15 2 ≈ 18,03cm; b = c = h = i = 9 ____ 15 2 + 5 2 ≈ 15,81cm; d = g = 9 ____ 10 2 + 5 2 ≈ 11,18cm; e = f = 9 ____ 5 2 + 5 2 ≈ 7,07] 1079. Die Streckensymmetrale der Strecke AB ist eine Gerade und alle ihre Punkte haben zu A und zu B den- selben Abstand. Wir müs- sen daher nur zwei solche Punkte konstruieren, dann ist die Streckensymmetrale die Gerade durch diese zwei Punkte. Dazu zeichnen wir zwei Kreise mit Mittelpunkt A und B und gleichem Radius ein, die einander in zwei Punkten schneiden. 1080. Wir zeichnen auf den Schenkeln des Winkels ½ BAC zwei Punkte ein, die von A denselben Abstand haben. Die Winkelsymme- trale ist die Strecken- symmetrale der Strecke zwischen diesen zwei Punkten. y x 0 - 4 - 2 2 4 2 4 6 8 y x 0 - 4 - 2 2 4 2 4 - 2 - 4 0 x y 1 -1 2 3 4 5 4 3 5 6 7 2 1 -1 A B 0 x y 1 -1 2 3 4 6 7 5 4 3 5 6 7 2 1 -1 A B C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv