Mathematik HTL 1, Schulbuch

Lösungen zu „Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt?“ 308 854. a. 6,30€ [Mit p(x) bezeichnen wir den Preis (in €) von xg Konfekt. Weil der Preis direkt proportional zum Gewicht ist, gibt es eine Zahl c so, dass p(x) = c·x ist, für alle Zahlen x. Dabei ist p(1) = c. Wir wissen, dass 4,77 = p(265) = c·265 ist, also kostet 1g c = p(1) = 4,77 _ 265 = 0,018€. Daher bezahlt ein Kunde für 350g p(350) = c·350 = 0,018·350 = 6,30€.] b. 800g [Wir suchen die Zahl a, für die p(a) = 14,40 ist. Es ist p(a) = 0,018·a = 14,40 und somit a = 14,40 _ 0,018 = 800.] 855. B und C Begründung zu A : Üblicherweise halbieren sich die Kosten nicht, wenn der Kurs doppelt so lang dauert. Begründung zu B : Wenn man zweimal, dreimal, c-mal … so viele Pumpen verwendet, braucht man nur die Hälfte, ein Drittel, das 1 _ c -Fache der Zeit, um den See auszupumpen. Begründung zu C : Wenn man zweimal, dreimal, c-mal … so viele Räumfahrzeuge verwendet, braucht man nur die Hälfte, ein Drittel, das 1 _ c -fache der Zeit, um die Straße zu reinigen (vorausgesetzt die Räumungsfahrzeuge behindern sich nicht gegenseitig bei der Arbeit). Begründung zu D : Wenn der Arbeitstag doppelt so lang dauert, dann werden nicht nur halb so viele T-Shirts produziert. 856. a. f: N ¥ Q , z ¦ 8000 _ z [Die doppelte, dreifache, c-fache Anzahl an Kühen kann nur halb, 1 _ 3 -mal, 1 _ c -mal so lang gefüttert werden. Die Anzahl f(x) der Tage, während derer x Kühe mit Futter versorgt werden können, ist also gleich k _ x für eine geeignete Zahl k. Wir wissen, dass 400 = f(20) = k _ 20 ist. Daher ist k = 20·400 = 8000.] b. 30 Kühe können 266 Tage gefüttert werden. [f(30) = 8000 _ 30 = 266,66] c. 80 Kühe können 100 Tage gefüttert werden. [100 = f(a) = 8000 _ a , also a = 80] 4.3 Lineare Funktionen 901. Die Funktion f ordnet jeder Zahl x die Zahl 2 _ 5 ·x + 1 zu. Gleichung: 2x – 5y = ‒5 902. Änderungsrate: ‒ 3 _ 5 ; Ordinatenabschnitt: 31 _ 5 [Bezeichnen wir die Änderungsrate mit k und mit d den Ordinaten- abschnitt der Funktion f, dann ist f(x) = k·x + d und es muss gelten: I) 5 = k·2 + d und II) 8 = k·(‒3) + d. Lösen wir dieses Gleichungs- system erhalten wir k = ‒ 3 _ 5 und d = 31 _ 5 = 6,2] 903. f(3) = 8 [8 = 5 _ 2 z + 1 _ 2 15 _ 2 = 5 _ 2 z z = 3] 904. A , C und E Begründung zu A : Für jede zusätzlich verbrauchte Kilowattstunde zahlt man denselben Preis. Begründung zu B : Die Änderungsrate einer linearen Funktion f ist f(x + 1) – f(x) für alle Zahlen x. Die Fläche eines Quadrates mit der Seitenlänge 1 bzw. 2 bzw. 3 ist 1 bzw. 4 bzw. 9. Verlängert man die Seitenlänge von 1 auf 2, wächst die Fläche um 3, verlängert man die Seitenlänge von 2 auf 3, dann wächst die Fläche aber um 5. Daher ist die Änderungsrate für 2 und für 3 nicht gleich, also kann der Zusam- menhang nicht durch eine lineare Funktion beschrieben werden. Begründung zu C : Der Zusammenhang wird durch die konstante Funktion, die jeder Gesprächsdauer dieselben Gesamtkosten zuord- net, beschrieben. Konstante Funktionen sind linear. Begründung zu D : Für die ersten 1000 Gesprächsminuten ist die Änderungsrate 0, ab der 1001. Minute aber ist die Änderungsrate gleich 0,05€. Begründung zu E : Jede Stunde wird derselbe Anteil abgebaut. Die Änderungsrate ist konstant 0,1‰. 905. 3,21GB [Mit G bezeichnen wir die Anzahl der Gigabyte, also muss Felix ins- gesamt 4,70·G + 4,90€ bezahlen. Wenn er 20€ ausgeben will, muss 4,70·G + 4,90 = 20 sein. Daraus folgt G = 3,21.] 906. Gebühr für Schläger und Bälle: 2,50€; Kosten für 50min: 7,50€ [Andi zahlt 1€ für 10min Benützung des Platzes, also 3€ für 30min. Insgesamt zahlt er 5,50€. Die Differenz von 2,50€ ist also die Gebühr für die Schläger und die Bälle. Für 50min bezahlt Andi 5·1 + 2,50 = 7,50€.] 907. a. g: R 0 + ¥ R , a ¦ { 3500 für a ª 70 3500 + 55·(a – 70) für a > 70 b. 5150€ [g(100) = 3500 + 55·(100 – 70) = 5150 ] c. 115 Gäste [6000 > 3500, also muss 6000 = 3500 + 55·(a – 70) sein w a ≈ 115,45] 4.4 Rechnen mit Funktionen 930. (f + g)(a) = ‒ 5 _ 2 a + 8 [(f + g)(a) = ‒ 1 _ 2 a + 5 + (‒2a + 3) = ‒ 5 _ 2 a + 8] (f – g)(a) = 3 _ 2 a + 2 [(f – g)(a) = ‒ 1 _ 2 a + 5 – (‒2a + 3) = 3 _ 2 a + 2] (f·g)(a) = a 2 ‒11,5a + 15 [(f·g)(a) = 2 ‒ 1 _ 2 a + 5 3 ·(‒2a + 3) = a 2 – 11,5a + 15] 931. a. richtig [3f(g – f) ‒2(f + g)(f – g) = 3fg – 3f 2 – 2(f 2 – g 2 ) = = 3fg – 3f 2 – 2f 2 + 2g 2 = 3fg – 5 f 2 + 2 g 2 ] b. richtig [2·((f – g) – 3(3f – 2g)) + f = 2(f – g – 9f + 6g) + f = = 2f – 2g – 18f + 12g + f = ‒15f + 10g] x y 0 - 5 -10 5 10 - 5 -10 5 10 x y 0 - 5 -10 5 10 - 5 -10 5 10 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv