Mathematik HTL 1, Schulbuch

Lösungen zu „Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt?“ 306 c. Wir dividieren I) durch 2 und multiplizieren II) mit 3 und erhalten so I’) a + b = 1 und II’) a + b = 3. Da die Zahl a + b nicht zugleich 1 und 3 sein kann, gibt es keine Lösung 636. a. b. Die beiden Geraden sind parallel, daher hat das Glei- chungssystem keine Lösung. Die Lösung des Gleichungs- systems ist (‒4, 2). 637. a. x = ‒2 und y = ‒ 1 _ 5 [wir formen zunächst die erste Gleichung um: (2x – y) 2 – (2x + y) 2 = 7x – 8xy + 14 | Klammern auflösen 4x 2 – 4xy + y 2 – 4x 2 – 4xy – y 2 = 7x – 8xy + 14 | zusammenfassen ‒8xy = 7x – 8xy + 14 | + 8xy 0 = 7x + 14 | – 14 ‒14 = 7x |: 7 x = ‒2 Dann formen wir die zweite Gleichung um: (3x + 2y) 2 + 1 _ 2 x = 3x(3x + 4y) + y(5 + 4y) | Klammern auflösen 9x 2 + 12xy + 4y 2 + 1 _ 2 x = 9x 2 + 12xy + 5y + 4y 2 | – 9x 2 – 12xy – 4y 2 1 _ 2 x = 5y | x durch ‒2 ersetzen ‒1 = 5y | : 5 y = ‒ 1 _ 5 ] b. x = 6 und y = 2 [Wir schreiben A für 1 _ x – 4 und B für 1 _ y + 1 dann ist: I) 2A + B = 4 _ 3 II) 3A + 3B = 5 _ 2 | : 3 I) 2A + B = 4 _ 3 | I – II II) A + B = 5 _ 6 I) A = 1 _ 2 II) B = 1 _ 3 Aus A = 1 _ 2 und 1 _ x – 4 = A erhalten wir: 1 _ x – 4 = 1 _ 2 |·2·(x – 4) 2 = x – 4 | + 4 x = 6 Aus B = 1 _ 3 und 1 _ y + 1 = B erhalten wir: 1 _ y + 1 = 1 _ 3 |·3·(y + 1) 3 = y + 1 |‒1 y = 2 ] 3.5 Systeme linearer Gleichungen mit mehr als zwei Unbekannten 653. a. x = 3, y = 4 und z = 2 [ I) 2x + 3y + 4z = 26 II) 3x + 5y + 2z = 33 | 2·II – 3·I III) 4x + 3y + 2z = 28 | – III + 2·I I) 2x + 3y + 4z = 26 II) y – 8z = ‒12 III) 3y + 6z = 24 | III – 3·II I) 2x + 3y + 4z = 26 II) y – 8z = ‒12 III) 30z = 60 | : 30 I) 2x + 3y + 4z = 26 II) y – 8z = ‒12 | II + 8·III III) z = 2 I) 2x + 3y + 4z = 26 | 1 _ 2 ·(I – 3·II – 4·III) II) y = 4 I) x = 3 II) y = 4 III) z = 2 ] b. w = 8,74, x = ‒2,55, y = ‒0,87 und z = 0,77 654. a. Die Lösungsmenge ist eine Gerade, denn Diagonalisieren ergibt das Gleichungssystem I) x + 4y + 3z = 8 II) 7y + 10z = 7 III) 0 = 0. b. Die Lösungsmenge ist eine Ebene, denn Diagonalisieren ergibt das Gleichungssystem I) 4x – 2y + z = 3 II) 0 = 0 III) 0 = 0. 655. a. {(5, 4, ‒2, 1)} b. {(0,5, 1, ‒0,5, 2, 3)} c. {(‒1, 17, ‒4, 5, 0) + c·(1, ‒3, 2, ‒1, 1) ‡ c * R }. 3.6 Modellieren mit Systemen linearer Gleichungen 740. a. C b. B und C 741. Es befinden sich 87 Erwachsene und 13 Kinder im Zuschauerraum. [Bezeichnen wir die die Anzahl der Erwachsenen mit E und die Anzahl der Kinder mit K, so sind insgesamt E + K = 100 Zuschauer bei ausverkaufter Vorstellung im Theater. Jeder Erwachsene zahlt 10 €, somit sind die Einnahmen von allen Erwachsenen 10·E. Jedes Kind zahlt 5€, somit sind die Einnahmen von allen Kindern 5·K. Die Einnahmen sind also 10·E + 5·K = 935. Wir müssen das Gleichungssystem I) E + K = 100 und II) 10·E + 5·K = 935 lösen und erhalten E = 87 und K = 13.] 742. Martina ist heute 10 Jahre und Caroline ist heute 6 Jahre alt. [Wir bezeichnen das Alter von Martina mit m, das von Caroline mit c. Vor zwei Jahren waren sie daher m – 2 und c – 2 Jahre alt. Da Martina damals doppelt so alt wie Caroline war, gilt m – 2 = 2·(c – 2). In 2 Jahren sind die beiden m + 2 und c + 2 Jahre alt, und sie sind gemeinsam 20 Jahre alt, also m + 2 + c + 2 = 20. Wir müssen das 0 x y - 2 2 4 4 6 2 0 x y - 2 2 4 2 - 2 - 4 - 6 (- 4 1 - 2) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv