Mathematik HTL 1, Schulbuch

Lösungen zu „Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt?“ 305 571. Die Punkte A, B und C liegen auf der Geraden. [A: ‒3 + 2c = 1 w c = 2; 5 – c = 3 w c = 2, also liegt der Punkt A auf der Geraden. B: ‒3 + 2c = ‒13 w c = ‒5; 5 – c = 3 w c = ‒5, also liegt der Punkt B auf der Geraden. C: ‒3 + 2c = 0 w c = 3 _ 2 ; 5 – c = 7 _ 2 w c = 3 _ 2 , also liegt der Punkt C auf der Geraden. D: ‒3 + 2c = ‒11 w c = ‒4; 5 – c = 8 w c = ‒3; ‒4 ≠ ‒3, also liegt der Punkt D nicht auf der Geraden.] 572. {(4 1 1 1 2) + c·(1 1 ‒3 1 ‒1) ‡ c * R } 573. a. Die Menge stellt eine Ebene dar. Setzen wir für (c, d) zum Beispiel (0, 0), (0, 1), (1, 0) und (1,1) ein, erhalten wir die Punkte (1 1 4 1 2), (2 1 4 1 5), (6 1 2 1 2) und (7 1 2 1 5). b. Die Menge stellt eine Gerade dar. Setzen wir für t zum Beispiel 0, 1, ‒1 und 2 ein, erhalten wir die Punkte (‒4 1 1 1 6), (‒3 1 2 1 5), (‒5 1 0 1 7) und (‒2 1 3 1 4). 574. {(1 1 0 1 2) + s·(1 1 ‒4 1 ‒1) + t·(2 1 5 1 ‒2) ‡ s, t * R } 3.3 Lineare Gleichungen mit mehr als einer Unbekannten 605. 606. a. {c·(7 1 ‒5) ‡ c * R } b. {c·(2 1 3) ‡ c * R } c. {(0, 2) + c·(7, ‒5) ‡ c * R } d. {(0, ‒3) + c·(2, 3) ‡ c * R } 607. a. ‒x + 5y = 0, P liegt nicht auf der Geraden [da ‒45 – 5·10 = 5 ≠ 0]. b. 7x + 3y = 0, P liegt auf der Geraden [da 7·(‒2,19) + 3·5,11 = 0]. c. ‒x + 5y = 25, P liegt auf der Geraden [da 15 + 5·2 = 25]. d. 7x + 3y = 28, P liegt nicht auf der Geraden [da 7·10 + 3· 2 ‒ 29 _ 2 3 = 53 _ 2 ≠ 28]. 608. a. {s·(‒1 1 1 1 0) + t·(‒1 1 0 1 1) ‡ s, t * R } Die Gleichung ist homogen und wir können zwei Lösungen (‒1 1 1 1 0) und (‒1 1 0 1 1) direkt ablesen. Keine dieser Lösungen ist ein Vielfaches der anderen. Die Lösungsmenge ist daher {s·(‒1 1 1 1 0) + t·(‒1 1 0 1 1) ‡ s, t * R }. b. { 2 1 _ 3 1 0 1 0 3 + s·(2 1 3 1 0) + t·(‒4 1 0 1 3) † s, t * R } Zuerst lösen wir die homogenen Gleichung 3x – 2y + 4z = 0. Wir können zwei Lösungen (2 1 3 1 0) und (‒4 1 0 1 3) ablesen. Keine dieser Lösungen ist ein Vielfaches der anderen. Die Menge aller Lösungen ist daher {s·(2 1 3 1 0) + t·(‒4 1 0 1 3) ‡ s, t * R }. Eine Lösung der inhomogenen linearen Gleichung 3x – 2y + 4z = 1 ist zum Beispiel 2 1 _ 3 1 0 1 0 3 . Die Menge aller Lösungen ist daher { 2 1 _ 3 1 0 1 0 3 + s·(2 1 3 1 0) + t·(‒4 1 0 1 3) ‡ s, t * R } . 3.4 Systeme von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten 633. a. x = 4 und y = 1 Die Probe ergibt: 8·4 – 3·1 = 29 und 5·4 + 6·1 = 26; beides ist richtig. [ I) 8x – 3y = 29 | I + 1 _ 2 ·II II) 5x + 6y = 26 I) 21 _ 2 x = 42 | : 21 _ 2 II) 5x + 6y = 26 I) x = 4 II) 6y = 6 | : 6 I) x = 4 II) y = 1 ] b. x = 1,6 und y = 2,7 Die Probe ergibt: 6·1,6 + 7·2,7 = 28,5 und 5·1,6 – 8·2,7 = ‒13,6; beides ist richtig. c. x = 1 _ 3 und y = 2 Die Probe ergibt: 3 _ 4 · 1 _ 3 + 1 _ 5 ·2 = 13 _ 20 und 1 _ 2 · 1 _ 3 + 5 _ 6 ·2 = 11 _ 6 beides ist richtig. 634. B und D A ist nicht äquivalent, weil die Zahlen auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens nicht entsprechend multipliziert wurden. C ist nicht äquivalent, weil das Zahlenpaar (3, 3) keine Lösung des angegebenen Gleichungssystems ist. 635. a. Multiplizieren wir I) mit 4·7 und II) mit 5·2 erhalten wir I’) 8s + 35t = 20 und II’) 8s + 35t = 20. Da diese zwei Gleichungen gleich sind, gibt es unendlich viele Lösungen. b. Multiplizieren wir I) mit 3·5 und II) mit 6·5 erhalten wir I’) 10x + 9y = 75 und II’) 5x – 6y = ‒15. Wir subtrahieren 2mal II’) von I’) und erhalten I’’) 21y = 105 und II’’) 5x – 6y = ‒15. Es gibt also genau eine Lösung. B 18 G 0 18 0 x y - 2 - 4 2 4 6 2 y 0 x - 3 - 2 -1 1 2 3 1 2 3 - 2 -1 - 3 0 x y - 2 - 4 2 4 6 2 y 0 x - 3 - 2 -1 1 2 3 1 2 3 - 2 -1 - 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv