Mathematik HTL 1, Schulbuch

Lösungen zu „Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt?“ 303 458. Einsetzen von E = 4,95·10 6 , v 2 = 100, v 1 = 10 in E = 1 _ 2 (mv 2 2 – mv 1 2 ) liefert: 4,95·10 6 = 1 _ 2 (m100 2 – m10 2 ) = 1 _ 2 (100m10 2 – m10 2 ) = 99 _ 2 10 2 m ! ·2 9,9·10 6 = 99·10 2 m ! : 10 2 9,9·10 4 = 99m ! : 99 9,9·10 4 __ 99 = m ! Seiten der Gleichung vertauschen; m = 10 3 ausrechnen 459. Es ist r 1 = 4,2cm und r 2 = 3,4cm. Zur Berechnung von r 1 2 – r 2 2 verwenden wir die binomische Formel r 1 2 – r 2 2 = (r 1 – r 2 )(r 1 + r 2 ) = 0,8·7,6 = 6,08. Einsetzen der nunmehr bekannten Zahlen in die Formel liefert: 158,08 π = π (6,08 + 2·4,2 h + 2·3,4h) ! : π 158,08 = 6,08 + 2·4,2h + 2·3,4h ! – 6,08 152 = 2·4,2h + 2·3,4h ! zusammenfassen 152 = 15,2h ! : 15,2 10 = h ! Seiten der Gleichung vertauschen h = 10 Unter Berücksichtigung der gewählten Einheiten ist h = 10cm. 460. Es ist R = 15m Ω und R 1 = 10m Ω . Einsetzen der bekannten Zahlen in die Formel liefert: 15 = 10 + 10R 2 _ 10 + R 2 ! – 10 5 = 10R 2 _ 10 + R 2 ! ·(10 + R 2 ) 5(10 + R 2 ) = 10R 2 ! ausmultiplizieren 50 + 5R 2 = 10R 2 ! – 5R 2 50 = 5R 2 ! : 5 10 = R 2 ! Seiten der Gleichung vertauschen R 2 = 10 Unter Berücksichtigung der gewählten Einheiten ist R 2 = 10m Ω . 2.5 Mengen und lineare Ungleichungen mit einer Unbekannten 477. a. {m, o, n, d, a, y, t, u, e, s, w, h, r, f, i} b. {‒14, ‒13, ‒12, ‒11, ‒10, ‒9, ‒8, ‒7, ‒6, ‒5, ‒4, ‒3, ‒2, ‒1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14} c. {0, 1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20} d. {100, 101, 102, 110, 111, 112, 120, 121, 122, 200, 201, 202, 210, 211, 212, 220, 221, 222} e. {Frühstück, Mittagessen, Abendessen} 478. a. {Kontinente der Erde} b. {z * Z‡ z ist ein Vielfaches von 7 und † z † ª 21} c. {z * R‡ ‒0,29 < z ª 4,76} d. {z * R‡ z < 3,2 oder z > 5,07} e. {3 z ‡ z * Z und ‒1 ª z ª 4} 479. a. Der Durchschnitt {z * R‡ z º 5,7} ° {z * R‡ z ª 5,8} ist das Intervall [5,7; 5,8]. 5,8 5,7 5 b. Die Vereinigung {z * R‡ z º 5,7} ± {z * R‡ z ª 5,8} ist die Menge aller reellen Zahlen, d.h. die gesamte Zahlengerade. c. Der Durchschnitt {z * R‡ z < 3,3} ° {5} ist die leere Menge. d. Der Durchschnitt { z * R‡ z > ‒10 3 , z ª 10 ‒3 } ° { z * R‡ z > 10 ‒6 } ist das Intervall ( 10 ‒6 ; 10 ‒3 ] . 10 –3 10 –6 480. a. 2a – 9 > 5 ! + 9 2a > 14 ! : 2 a > 7 Die Lösungsmenge ist also {z * R‡ z > 7}, d.h. die positive offene Halbgerade (7; • ). b. 7 – 3b ª 13 ! – 7 ‒3b ª 6 ! : (‒3) b º ‒2 Die Lösungsmenge ist also {z * R‡ z º ‒2}, d.h. die positive Halb- gerade [‒2; • ). c. 3(5 + 2c) – (10c + 12) > 3 – (3c – 2) ! ausmultiplizieren 15 + 6c – 10c – 12 > 3 – 3c + 2 ! zusammenfassen 3 – 4c > 5 – 3c ! + 3c 3 – c > 5 ! – 3 ‒c > 2 ! ·(‒1) c < ‒2 Die Lösungsmenge ist also {z * R‡ z < ‒2}, d.h. die negative offene Halbgerade (‒ • ; ‒2). d. ‒5d – 7 º 4d + 6 _ 2 ! ·2 2(‒5d – 7) º 4d + 6 ! ausmultiplizieren ‒10d – 14 º 4d + 6 ! – 4d ‒14d – 14 º 6 ! + 14 ‒14d º 20 ! : (‒14) d ª ‒ 20 _ 14 ! kürzen d ª ‒ 10 _ 7 Die Lösungsmenge ist also { z * R‡ z ª ‒ 10 _ 7 } , d.h. die negative Halbgerade 2 ‒ • ; ‒ 10 _ 7 5 . 481. a. Die Ungleichung ‒3z + 1 º 4 – (9 + z) wurde richtig gelöst. b. Die Ungleichung (z – 3)·5 < 8z + 2(z – 6) wurde nicht richtig umgeformt. Im Umformungsschritt (z – 3)·5 < 8z + 2(z – 6) ! ausmultiplizieren 5z – 15 < 10z – 6 wurde nicht korrekt ausmultipliziert. Korrekt wäre 5z – 15 < 10z – 12 Zudem wäre bei der Umformung zu z > ‒ 9 _ 5 die Lösungsmenge die positive offene Halbgerade 2 ‒ 9 _ 5 ; • 3 482. a. Bezeichnen wir die Länge der kürzeren Seite mit k, so ist die Länge der längeren Seite k + 30 _ 100 k = 130 _ 100 k und die Aufgabe lässt sich modellieren als: „Beschreibe die Menge aller Zahlen k mit 2 2 k + 130 _ 100 k 3 ª 180.“ b. Bezeichnen wir die unbekannte Zahl mit z, so lässt sich die Aufgabe modellieren als: „Beschreibe die Menge aller Zahlen z mit 3(z – 7) > 19.“ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv