Mathematik HTL 1, Schulbuch

Lösungen zu „Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt?“ 302 B Wir nehmen an, dass x ≠ ‒3 und x ≠ 3 ist. 2x _ x – 3 = 3x __ (x – 3)(x + 3) – 5 – 2x _ x + 3 ! ·(x – 3) 2x = 3x _ x + 3 – (5 – 2x)(x – 3) __ x + 3 ! ·(x + 3) 2x(x + 3) = 3x – (5 – 2x)(x – 3) ! ausmultiplizieren 2x 2 + 6x = 3x – 5x + 2x 2 + 15 – 6x ! zusammenfassen 2x 2 + 6x = 2x 2 – 8x + 15 ! – 2x 2 6x = ‒8x + 15 Die Gleichung kann in eine lineare Gleichung umgeformt werden. C Wir nehmen an, dass a ≠ ‒3 ist. 3a _ a 2 + 3 2 = 5a – 8 _ (a + 3) 2 ! ·(a 2 + 3 2 ) 3a = (5a – 8)(a 2 + 9) __ (a + 3) 2 ! ·(a + 3) 2 3a(a + 3) 2 = (5a – 8)(a 2 + 9) ! ausmultiplizieren 3a(a 2 + 6a + 9) = 5a 3 – 8a 2 + 45a – 72 ! ausmultiplizieren 3a 3 + 18a 2 + 27a = 5a 3 – 8a 2 + 45a – 72 ! – 5a 3 + 8a 2 ‒2a 3 + 26a 2 + 27a = 45a – 72 Die Unbekannte bleibt mit Hochzahl 2 und 3 „stehen“, die Gleichung kann nicht in eine lineare Gleichung umgeformt werden. 2.3 Textaufgaben 433. Löse die Gleichung a + 2a + 4a + 20 = 200 a bezeichnet dabei die Länge des kürzeren Teilstücks in Meter. 434. Löse die Gleichung (14·8,80 + a·6,20)·1,15 = 8,05(14 + a). a bezeichnet dabei die gesuchte Anzahl der Kilogramm der Sorte Ceylon II. 435. C „Finde eine Zahl t so, dass 80t + 90(t – 1,5) = 250 ist.” ist ein geeignetes mathematisches Modell für diese Aufgabe. Begründung: Bezeichnen wir mit t die Zeit (in Stunden), die der PKW bis zum Treffpunkt unterwegs ist, so legt dieser den Weg 80t (in km) zurück. Nachdem das Motorrad 1,5 Stunden später weg- fährt, legt dieses bis zum Treffpunkt den Weg 90(t – 1,5) (in km) zurück. Beide Wege zusammen müssen gleich der gesamten Entfernung von Wien nach Prag, also 250km sein. 436. Der kleinste der Lastwagen muss 18-mal fahren, damit der gesamte Metallschrott abtransportiert ist. Begründung: Wir bezeichnen die Anzahl der Fahrten des kleinsten Lastwagens mit A. Schrottvolumen pro Fahrt Anzahl der Fahrten abtransportiertes Schrottvolumen Lastwagen 1 V _ 15 3 V _ 15 3 Lastwagen 2 V _ 20 2 V _ 20 2 Lastwagen 3 V _ 25 A V _ 25 A In Summe muss das gesamte Schrottvolumen V abtransportiert werden. Die Aufgabe lässt sich also durch „Löse die Gleichung 3 V _ 15 + 2 V _ 20 + A V _ 25 = V“ beschreiben. Division durch V liefert zunächst: 3 _ 15 + 2 _ 20 + A _ 25 = 1 ! – 3 _ 15 – 2 _ 20 A _ 25 = 1 – 3 _ 15 – 2 _ 20 ! kürzen und ausrechnen A _ 25 = 7 _ 10 = 0,7 ! ·25 A = 17,5 Da der Lastwagen keine „halbe Fahrt“ machen kann, muss er 18-mal fahren. 437. Durch Rechnung erhält man, dass 41,5 Sitzplatzkarten verkauft wurden. Da es aber keine halben Sitzplätze gibt, liegt offenbar ein Fehler in der Angabe vor! Begründung: Wir bezeichnen die Anzahl verkauften Sitzplatzkarten mit s. Dafür wurden 25s€ eingenommen. Laut Angabe wurden 23 Stehplatzkarten mehr als Sitzplatzkarten verkauft, also s + 23. Dafür wurden 15(s + 23)€ eingenommen. Wir können daher die Aufgabe beschreiben als „Löse die Gleichung 25s + 15(s + 23) = 2005“. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen auf der linken Seite der Gleichung liefert: 40s + 345 = 2005 ! – 345 40s = 1660 ! : 40 s = 41,5 438. a. 502,95€ [479·1,05 = 502,95 ] b. 399,17€ 4 479 _ 1,2 = 399,17 5 439. a. in Geschäft B [598·0,965 = 577,07 > 584·0,98 = 572,32] b. um 0,82% 4 572,32 _ 577,07 = 0,9918. Frau Maier zahlt 99,18%, also um 0,82% weniger. 5 2.4 Umformen von Formeln 453. s = s 0 + v 0 t + 1 _ 2 at 2 ! – s 0 s – s 0 = v 0 t + 1 _ 2 at 2 ! – v 0 t s – s 0 – v 0 t = 1 _ 2 at 2 ! ·2 2(s – s 0 – v 0 t) = at 2 ! : t 2 2(s – s 0 – v 0 t) __ t 2 = a ! Seiten der Gleichung vertauschen a = 2(s – s 0 – v 0 t) __ t 2 454. 1 _ R = 1 _ R 1 + R 2 + 1 _ R 2 + R 3 ! ·R 1 = R _ R 1 + R 2 + R _ R 2 + R 3 ! ·(R 1 + R 2 ) R 1 + R 2 = R + R(R 1 + R 2 ) __ R 2 + R 3 ! ·(R 2 + R 3 ) (R 1 + R 2 )(R 2 + R 3 ) = R(R 2 + R 3 ) + R(R 1 + R 2 ) ! ausmultiplizieren R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 2 + R 2 R 3 = RR 2 + RR 3 + RR 1 + RR 2 ! – RR 1 R 1 R 2 + R 1 R 3 – RR 1 + R 2 2 + R 2 R 3 = RR 2 + RR 3 + RR 2 ! – R 2 2 R 1 R 2 + R 1 R 3 – RR 1 + R 2 R 3 = RR 2 + RR 3 + RR 2 – R 2 2 ! – R 2 R 3 R 1 R 2 + R 1 R 3 – RR 1 = RR 2 + RR 3 + RR 2 – R 2 2 – R 2 R 3 ! R 1 herausheben R 1 (R 2 + R 3 – R) = RR 2 + RR 3 + RR 2 – R 2 2 – R 2 R 3 ! : (R 2 + R 3 – R) R 1 = RR 2 + RR 3 + RR 2 – R 2 2 – R 2 R 3 ____ R 2 + R 3 – R = 2RR 2 + RR 3 – R 2 2 – R 2 R 3 ___ R 2 + R 3 – R 455. α = ® w – ® 0 _ ® 0 ! · ® 0 α® 0 = ® w – ® 0 ! + ® 0 α® 0 + ® 0 = ® w ! ® 0 herausheben ® 0 ( α + 1) = ® w ! : ( α + 1) ® 0 = ® w _ α + 1 456. Die angegebene Umformung der Formel G = Em __ 2(m + 1) nach m ist nicht korrekt , weil im „Ergebnis“ die Unbekannte noch auf beiden Seiten vorkommt. 457. Die angegebene Umformung ist nicht korrekt , weil im Umformungs- schritt ® 2 – ® 1 – α® 1 T 2 = ‒ α® 1 T 1 ! + α® 1 ® 2 – ® 1 – α® 1 T 2 + α® 1 = T 1 die Summe ‒ α® 1 T 2 + α® 1 nicht korrekt berechnet wurde (sie ist nicht T 1 ). Richtig müsste so umgeformt werden: ® 2 – ® 1 – α® 1 T 2 = ‒ α® 1 T 1 ! : (‒ α® 1 ) ® 2 – ® 1 – α® 1 T 2 __ ‒ α® 1 = T 1 ! Seiten der G ® eichung vertauschen T 1 = ® 2 – ® 1 – α® 1 T 2 __ ‒ α® 1 bzw.: T 1 = α® 1 T 2 – ® 2 + ® 1 __ α® 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv