Mathematik HTL 1, Schulbuch

Lösungen zu „Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt?“ 301 1.5 Zifferndarstellung von Zahlen und Rechnen mit Näherungen 282. C , weil 10 6 = 111111·9 + 1 283. ca. 152 Millionen kg [19·8 = 152] 284. absoluter Fehler: 4s; relativer Fehler: 10,53% [relativer Fehler: 4 ___ 8,6 + 10,4 + 9,8 + 9,2 = 4 _ 38 = 0,1053 = 10,53%] 285. 7 _ 4 = 1,11 2 4 7 _ 4 ·2 2 = 7, 7 10 = 111 2 , also ist 7 _ 4 = 1,11 2 5 286. 1,001 2 = 1,125 10 [1,001 2 = 1 + 1 _ 8 = 1 + 0,125 = 1,125] 287. B , weil 10000 2 = 101 2 ·11 2 + 1 2 1.6 Aussagen 309. a. wahre Aussage; Verneinung: 19 ist keine Primzahl. b. keine Aussage c. falsche Aussage; Verneinung: Wien ist nicht die Bundeshauptstadt von Deutschland. d. falsche Aussage; Verneinung: Die Summe von 4 und 9 ist nicht 12. e. keine Aussage 310. a. richtig b. richtig c. falsch d. falsch (war aber vor 1986 richtig) 311. zum Beispiel: A = ¬B, A = B, ¬A É B 312. A und C 313. C 314. a. (A ? B) w C, mit A: „Heute ist schulfrei.“; B: „Ich habe keine Termine.“; C: „Ich kann ausschlafen.“ b. (A ? B) w C, mit A: „Es hat 10°.“; B: „Es gibt Niederschlag.“; C: „Es schneit.“ 315. a. falsch b. wahr c. wahr [da Aussage A falsch ist] d. wahr [da Aussage C falsch ist] e. falsch 2 Lineare Gleichungen und Ungleichungen mit einer Unbekannten 2.1 Modellieren einfacher Aufgaben durch lineare Gleichungen mit einer Unbekannten 346. a. Löse die Gleichung 5(z + 4) – 17 = 48. b. Löse die Gleichung 2z + 1,4z = 19,2. 347. a. „Löse die Gleichung z – 17·3 + 8 = 17“ beschreibt die Aufgabe nicht richtig . Richtig wäre: „Löse die Gleichung (z – 17)·3 + 8 = 17“ b. „Löse die Gleichung 2z + 10 _ 100 = 42“ beschreibt die Aufgabe nicht richtig . Richtig wäre: „Löse die Gleichung 2z + 1 _ 10 z = 42” c. „Löse die Gleichung z + 2z = 2z + 12“ beschreibt die Aufgabe richtig . 2.2 Äquivalenzumformungen 370. a. Die Umformung ist nicht richtig . Im Schritt 2(u – 3) + 7 = 3u ! ausmultiplizieren 2u – 3 + 7 = 3u wurde die Klammer falsch aufgelöst. Richtig wäre: 2u – 6 + 7 = 3u b. Die Umformung ist nicht richtig . Im Schritt ‒5t = 9 ! + 5 t = 14 ist das Produkt aufzulösen! Richtig wäre also: ‒5t = 9 ! : (‒5) t = ‒ 9 _ 5 c. Die Umformung ist richtig . 371. 1700 . Im Kopf lässt sich das z.B. so berechnen: 2·10 10 ist das Gleiche wie 20·10 9 20·10 9 – 3·10 9 ergibt 17·10 9 17·10 9 : 10 7 ergibt 17·10 2 , und das ist 1700. 372. 5(x – 1) – 3(x – 4) = 3(x + 2) + 2(x – 4) ! ausmultiplizieren 5x – 5 – 3x + 12 = 3x + 6 + 2x – 8 ! zusammenfassen 2x + 7 = 5x – 2 ! – 2x 7 = 3x – 2 ! + 2 9 = 3x ! : 3 3 = x ! Seiten der Gleichung vertauschen x = 3 373. a + 6 _ 3 – a + 3 _ 4 = 5 ! ·3 a + 6 – 3 a + 3 _ 4 = 15 ! ·4 4(a + 6) – 3(a + 3) = 60 ! linke Seite ausmultiplizieren 4a + 24 – 3a – 9 = 60 ! linke Seite zusammenfassen a + 15 = 60 ! – 15 a = 45 374. B lässt sich in eine lineare Gleichung umformen. Begründung: A (b + 3)(2b – 5) = (2b) 2 – 2(b + 9) ! ausmultiplizieren 2b 2 + 6b – 5b – 15 = 4b 2 – 2b – 18 ! – 2b 2 6b – 5b – 15 = 2b 2 – 2b – 18 Die Unbekannte bleibt mit Hochzahl 2 „stehen“; die Gleichung kann nicht in eine lineare Gleichung umgeformt werden. B (2c + 5) 2 + (3c – 2) 2 = (5c + 23) 2 – 12c(c – 1) ! ausmultiplizieren 4c 2 + 20c + 25 + 9c 2 – 12c + 4 = 25c 2 + 230c + 529 – 12c 2 + 12c ! zusammenfassen 13c 2 + 8c + 29 = 13c 2 + 242c + 529 ! – 13c 2 8c + 29 = 242c + 529 Die Gleichung kann in eine lineare Gleichung umgeformt werden. C a – 3(15 – 2a) + (a + 3) 2 = 2a(15 – 2a) + a 2 ! ausmultiplizieren a – 45 + 6a + a 2 + 6a + 9 = 30a – 4a 2 + a 2 ! zusammenfassen a 2 + 13a – 36 = ‒3a 2 + 30a ! + 3a 2 4a 2 + 13a – 36 = 30a Die Unbekannte bleibt mit Hochzahl 2 „stehen“; die Gleichung kann nicht in eine lineare Gleichung umgeformt werden. 375. A und B lassen sich in lineare Gleichungen umformen. Begründung: A Wir nehmen an, dass x ≠ ‒4 ist. 5x _ x + 4 = 3 _ 7 ! ·7 35x _ x + 4 = 3 ! ·(x + 4) 35x = 3(x + 4) Die Gleichung kann in eine lineare Gleichung umgeformt werden. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv