Mathematik HTL 1, Schulbuch

300 Lösungen zu „Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt?“ 1 Zahlen 1.1 Natürliche Zahlen 57. a. 857 b. 837 c. 128 d. 90 58. 2·3 < 2 3 < 3·3 < 3 3 [2·3 = 6, 2 3 = 8, 3·3 = 9, 3 3 = 27] 59. a. Es werden täglich 3416 Pakete verschweißt. [20500 : 6 = 3416 + 4] b. Es werden 23 Paletten pro Tag gebraucht. Auf einer befinden sich nur 116 Flaschen. [3416 : 150 = 22 + 116] 60. a. 1010 2 [10 = 5·2 + 0 5 = 2·2 + 1 2 = 1·2 + 0 also ist 10 10 = 1010 2 ] b. 11000 2 c. 10001001 2 d. 101001000 2 61. a. 3 [11 2 = 1·2 1 + 1·2 0 = 2 + 1 = 3] b. 9 c. 23 d. 120 1.2 Die Zahlen der Zahlengeraden: Reelle Zahlen 113. 114. a. 42,45 b. 5,9 115. a. ‒3x + 2y [(3x – 2y) – (4x + 3y) + (‒2x + 7y) = 3x – 2y ‒4x – 3y ‒2x + 7y = = ‒3x + 2y] b. 14a – 14b + 20 [4·(5a – 3b + 1) – (3a + b – 8)·2 = 20a – 12b + 4 – 6a ‒2b + 16 = = 14a – 14b + 20] c. 10x + 2y + 14 [2·(x – 2y + 3 – (2x – 3y ‒1)) – 3·(‒4x – 2) = = 2·(x – 2y + 3 – 2x + 3y + 1) + 12x + 6 = 2·(‒x + y + 4) + 12x + 6 = = ‒2x + 2y + 8 + 12x + 6 = 10x + 2y + 14] 116. Die andere Seite ist 80m lang. [bezeichnen wir die gesuchte Seite mit a dann ist a·12,5 = 1000, also a = (a·12,5)· 1 _ 12,5 = 1000· 1 _ 12,5 = 80] 1.3 Rationale Zahlen – Bruchzahlen 167. a. ‒ 1 _ 6 4 2 3 _ 4 + 1 _ 6 3 · 6 _ 11 – 5 _ 8 · 2 2 _ 5 + 2 _ 3 3 = 2 9 _ 12 + 2 _ 12 3 · 6 _ 11 – 5 _ 8 · 2 6 _ 15 + 10 _ 15 3 = 11 _ 12 · 6 _ 11 – 5 _ 8 · 16 _ 15 = = 1 _ 2 – 2 _ 3 = 3 _ 6 – 4 _ 6 = ‒ 1 _ 6 5 b. 5 _ 2 4 2 _ 3 + 1 _ 4 _ 1 _ 2 – 1 _ 5 · 9 _ 11 = 8 _ 12 – 3 _ 12 _ 5 _ 10 – 2 _ 10 · 9 _ 11 = 11 _ 12 _ 3 _ 10 · 9 _ 11 = 11·10·9 __ 12·3·11 = 5 _ 2 5 168. a. ggT(36, 42) = 6, kgV(36, 42) = 252 [ggT(36, 42) = ggT(36, 6) = 6; kgV = 36·42 _ 6 = 6·42 = 252] b. ggT(126, 420) = 42, kgV(126, 420) = 1260 [ggT(126, 420) = | 420 : 126 = 3 + 42 = ggT(126, 42) = | 126 : 42 = 3 + 0 = ggT(42, 0) = 42 kgV(126, 420) = 126·420 __ 42 = 3·420 = 1260] c. ggT(56, 135) = 1, kgV(56, 135) = 7560 [ggT(56, 135) = | 135·56 = 2 + 23 = ggT(56, 23) = | 56 : 23 = 2 + 10 = ggT(23, 10) = | 23 : 10 = 2 + 3 = ggT(10, 3) = | 10 : 3 = 3 + 1 = ggT(3, 1) = 1 kgV(56, 135) = 56·135 _ 1 = 7560] 169. a. 2 _ 5 4 34 _ 85 = 17·2 _ 17·5 = 2 _ 5 5 b. ‒ 1 _ 2 4 ‒ 72 _ 144 = ‒ 72·1 _ 72·2 = ‒ 1 _ 2 5 c. 3 _ 7 4 105 _ 245 = 35·3 _ 35·7 = 3 _ 7 5 170. a. 7 _ 8 = 98 _ 112 4 7 _ 8 = 14·7 _ 14·8 = 98 _ 112 5 b. 3 _ 5 = 72 _ 120 4 3 _ 5 = 24·3 _ 24·5 = 72 _ 120 5 c. 54 _ 126 = ‒ ‒3 _ 7 4 54 _ 126 = ‒ 18·(‒3) _ 18·7 = ‒ ‒3 _ 7 5 171. a. 3 _ 25 4 21 _ 80 · 16 _ 35 = 3 _ 5 · 1 _ 5 = 3 _ 25 5 b. 25 _ 63 4 30 _ 49 : 54 _ 35 = 30 _ 49 · 35 _ 54 = 5·5 _ 7·9 = 25 _ 63 5 c. 1 _ 8 4 3 _ 5 · 15 _ 28 · 7 _ 18 = 1· 1 _ 4 · 1 _ 2 = 1 _ 8 5 1.4 Potenzen 241. a. 10 6 [10 9 ·10 ‒5 ·10 2 = 10 9 – 5 + 2 = 10 6 ] b. a 2 b ‒4 4 a 4 ·b 3 ·a ‒1 __ a 2 ·b 7 · 1 _ a = a 3 ·b 3 _ a·b 7 = a 2 ·b ‒4 5 242. a. 1,2·10 ‒3 b. 6,25·10 6 c. 4·10 ‒4 243. a. 1·10 9 [2,5·10 4 ·40·10 3 = 2,5·10 4 ·4·10·10 3 = 10·10 8 = 1·10 9 ] b. 5·10 2 4 350·10 7 __ 0,07·108 = 3,5·10 2 ·10 7 __ 7·10 ‒2 ·10 8 = 3,5·10 9 _ 7·10 6 = 5·10 2 5 c. 2,56·10 3 [5,12·10 3 – 256·10 1 = 5,12·10 3 – 2,56·10 3 = 2,56·10 3 ] 244. a. 1,2·10 6 cm [12km = 12·10 5 cm = 1,2·10 6 cm] b. 1·10 2 mm 2 [0,0001m 2 = 1·10 ‒4 ·10 6 mm 2 = 1·10 2 mm 2 ] c. 2,5·10 ‒2 m 3 [25dm 3 = 25·10 ‒3 m 3 = 2,5·10 ‒2 m 3 ] 245. a. 9a 2 – 24ab + 16b 2 b. 4x 2 + 28xy + 49y 2 c. 2,25r 2 – 6,25s 2 246. x 4 – 4x 3 y + 6x 2 y 2 – 4xy 3 + y 4 [(x – y) 2 ·(x – y) 2 = (x 2 – 2xy + y 2 )(x 2 – 2xy + y 2 ) = = x 4 – 2x 3 y – x 2 y 2 – 2x 3 y + 4x 2 y 2 – 2xy 3 + x 2 y 3 + x 2 y 2 – 2xy 3 + y 4 = = x 4 – 4x 3 y + 6x 2 y 2 ‒4xy 3 + y 4 ] 247. a. 2·3 5 _ 4 ·5 3 _ 2 4 4 9 ______ 4 2 ·3 5 ·25 3 = 4 2 _ 4 ·3 5 _ 4 ·25 3 _ 4 = 2·3 5 _ 4 ·5 3 _ 2 5 b. a 1 _ 6 ·b ‒ 1 _ 2 4 3 9 ___ a 2 ·b 3 _ 9 ___ a·b 3 = (a 2 _ 3 ·b)/(a 1 _ 2 ·b 3 _ 2 ) = a 1 _ 6 ·b ‒ 1 _ 2 5 248. a. 20 9 __ a 17 4 5 9 __ a 3 · 4 9 _ a = a 3 _ 5 ·a 1 _ 4 = a 17 _ 20 = 20 9 __ a 17 5 b. 6 9 _ b 4 6 9 __ b 5 _ 3 9 __ b 2 = b 5 _ 6 ·b ‒ 2 _ 3 = b 1 _ 6 = 6 9 _ b 5 c. 6 9 __ c 13 4 7 9 __ c 6 · 3 9 __ c 5 _ 14 9 __ c 5 = c 6 _ 7 ·c 5 _ 3 ·c ‒ 5 _ 14 = c 13 _ 6 = 6 9 __ c 13 5 d. 20 9 __ d 3 4 9 _ d· 5 9 __ d 3 _ 4 9 _ d· 10 9 __ d 7 = d 1 _ 2 ·d 3 _ 5 ·d ‒ 1 _ 4 ·d ‒ 7 _ 10 = d 3 _ 20 = 20 9 __ d 3 5 g 0 1 1’ 2 3 4 0,5 1,5 2,5 3,5 a’ a g’ c b a ∙ c a ∙ b b + c a ∙( b + c) = a ∙ b + a ∙ c Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv