Mathematik HTL 1, Schulbuch

30 Zahlen Für ganze Zahlen a, b, c, d, wobei b und d von 0 verschieden sind, ist a _ b + c _ d = a·d _ b·d + b·c _ b·d = a·d + b·c __ b·d daher ist a _ b + c _ d = a·d + b·c __ b·d . Ebenso erhält man a _ b – c _ d = a·d – b·c __ b·d . Summe und Differenz von Bruchzahlen sind also wieder Bruchzahlen. Besonders einfach wird die Berechnung von Zähler und Nenner der Summe (oder Differenz) von zwei Bruchzahlen, wenn diese denselben Nenner haben: a _ b + c _ b = a + c _ b und a _ b – c _ b = a – c _ b Das Addieren bzw. Subtrahieren von Bruchzahlen ist einfacher, wenn wir zuerst die zwei Summanden bzw. Minuend und Subtrahend als Bruchzahlen mit gleichem Nenner darstellen. 117 Berechne. a. 1 _ 7 + 2 _ 5 b. 11 _ 25 – 13 _ 42 a. 1 _ 7 + 2 _ 5 = 1·5 _ 7·5 + 7·2 _ 7·5 = 5 _ 35 + 14 _ 35 = 19 _ 35 b. 11 _ 25 – 13 _ 42 = 11·42 _ 25·42 – 25·13 _ 25·42 = 462 _ 1050 – 325 _ 1050 = 137 _ 1050 Für ganze Zahlen a, b, c, d, wobei b und d von 0 verschieden sind, gilt: a _ b · c _ d = a·c _ b·d Denn: a _ b · c _ d ·b·d = a _ b ·b· c _ d ·d = a·c. Wenn auch c nicht 0 ist, dann gilt: a _ b _ c _ d = a·d _ b·c bzw. in anderer Schreibweise: (a/b)/(c/d) = (a·d)/(b·c) Denn: c _ d · d _ c = c·d _ c·d = 1, also ist 2 c _ d 3 ‒1 = d _ c und 1 _ c _ d = d _ c . Daher ist a _ b _ c _ d = a _ b : c _ d = a _ b · 2 c _ d 3 ‒1 = a _ b · d _ c = a·d _ b·c . Produkt und Quotient von Bruchzahlen sind also wieder Bruchzahlen. Einen Quotienten von Bruchzahlen bezeichnen wir auch als Doppelbruch . Tipp Beim Multiplizieren und Dividieren von Bruchzahlen ist es nicht sinnvoll, die Bruchzahlen mit gleichem Nenner darzustellen! Wir haben die Potenzschreibweise a n (sprich: „a hoch n“ oder „n-te Potenz von a“) anstatt a·a·a·…·a schon für natürliche Zahlen a und n kennengelernt. Wir führen sie nun auch für 12222222342222225 n-mal rationale Zahlen ein: Wenn n eine natürliche Zahl ist und a und b ganze Zahlen sind, wobei b verschieden von 0 ist, dann schreiben wir: 2 a _ b 3 n für a _ b · a _ b ·…· a _ b = a·a·…·a __ b·b·…·b = a n _ b n , 122222234222225 n-mal also 2 a _ b 3 n = a n _ b n . Die Potenz einer Bruchzahl ist wieder eine Bruchzahl. Summe und Differenz von Bruchzahlen B Bruchzahlen addieren und subtrahieren Produkt und Quotient von Bruchzahlen Doppelbruch Potenz einer Bruchzahl ggb/tns p5cc2v Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv